{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-3)\nZe zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy bez zwracania trzy cyfry i zapisujemy je w kolejności\nlosowania, tworząc w ten sposób liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby\npodzielnej przez 3, jeżeli wiadomo, że iloczyn pierwszej i drugiej cyfry jest równy 8.\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n14\n15\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n10.2. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie trzywyrazowe ciągi o różnych wyrazach ze zbioru\n{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, czyli wariacje bez powtórzeń.\nWprowadzamy oznaczenia:\nA - utworzono liczbę podzielną przez 3,\nB - iloczyn pierwszej i drugiej cyfry wynosi 8.\nZauważmy, że liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.\nMamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe P A B\nB\nA\nB\nh\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n12 z 17\nZdarzeniu B sprzyjają wariacje postaci: (1, 8, a), (2, 4, b), (4, 2, c), (8, 1, d), gdzie trzeci wyraz\nkażdego z tych ciągów można wybrać na 7 sposobów (wyrazy nie mogą się powtórzyć).\nZatem\nB\n4 7\n$\nZdarzeniu A\nB\nsprzyjają wariacje postaci: (1, 8, a), (2, 4, b), (4, 2, c), (8, 1, d), przy czym\na\n3\n9\ni\nb\n3\n6\ni\nc\n3\n6\ni\nd\n3\n9\nPonieważ suma dwóch pierwszych cyfr w każdym z wymienionych\nprzypadków jest podzielna przez 3, więc\na, b, c, d !{3, 6, 9}. Zatem\nA\nB\n4 3\n$\nStąd\nP A B\nB\nA\nB\n4 7\n4 3\n7\n3\n$\n$\nh\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nWprowadzenie oznaczeń, np.:\nA - utworzono liczbę podzielną przez 3,\nB - iloczyn pierwszej i drugiej cyfry wynosi 8\ni zauważenie, że liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3, oraz że trzeba\nobliczyć prawdopodobieństwo warunkowe\nP A B\nB\nA\nB\nh\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nObliczenie B\n4 7\n$\nlub\nA\nB\n4 3\n$\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nObliczenie prawdopodobieństwa warunkowego\nP A B\n7\n3\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 15. (0-3)
Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy bez zwracania trzy cyfry i zapisujemy je w kolejności
losowania, tworząc w ten sposób liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby
podzielnej przez 3, jeżeli wiadomo, że iloczyn pierwszej i drugiej cyfry jest równy 8.
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
14
15
Maks. liczba pkt
3
3
Uzyskana liczba pkt

\n

12 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
10.2. Elementy statystyki opisowej. Teoria
prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.
Przykładowe rozwiązanie
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie trzywyrazowe ciągi o różnych wyrazach ze zbioru
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, czyli wariacje bez powtórzeń.
Wprowadzamy oznaczenia:
A - utworzono liczbę podzielną przez 3,
B - iloczyn pierwszej i drugiej cyfry wynosi 8.
Zauważmy, że liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe P A B
B
A
B
h
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
12 z 17
Zdarzeniu B sprzyjają wariacje postaci: (1, 8, a), (2, 4, b), (4, 2, c), (8, 1, d), gdzie trzeci wyraz
każdego z tych ciągów można wybrać na 7 sposobów (wyrazy nie mogą się powtórzyć).
Zatem
B
4 7
$
Zdarzeniu A
B
sprzyjają wariacje postaci: (1, 8, a), (2, 4, b), (4, 2, c), (8, 1, d), przy czym
a
3
9
i
b
3
6
i
c
3
6
i
d
3
9
Ponieważ suma dwóch pierwszych cyfr w każdym z wymienionych
przypadków jest podzielna przez 3, więc
a, b, c, d !{3, 6, 9}. Zatem
A
B
4 3
$
Stąd
P A B
B
A
B
4 7
4 3
7
3
$
$
h
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt
Wprowadzenie oznaczeń, np.:
A - utworzono liczbę podzielną przez 3,
B - iloczyn pierwszej i drugiej cyfry wynosi 8
i zauważenie, że liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3, oraz że trzeba
obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe
P A B
B
A
B
h
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Obliczenie B
4 7
$
lub
A
B
4 3
$
Rozwiązanie pełne 3 pkt
Obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego
P A B
7
3
h

","solutions":[]}