{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"16","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których wierzchołek paraboli o równaniu\ny = x2 - 2kx + 2k2 - 4k + 4 należy do koła o środku S = (3, 2) i promieniu\n5\n\n13 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n16\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n14 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-6)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n4.12. Funkcje.\nZdający wykorzystuje własności funkcji liniowej\ni kwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych\nw kontekście praktycznym).\nIV etap edukacyjny - poziom rozszerzony\n8.5. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu\n(x - a)2 + (y - b)2 = r2 oraz opisuje koła za pomocą\nnierówności.\n2.2. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający dzieli wielomiany przez dwumian ax + b.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:\nx\nk\na\nb\nk\n2\n2\n2\nw =\nyw = k2 - 2k2 + 2k2 - 4k + 4 = k2 - 4k + 4\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n13 z 17\nWierzchołek W = (xw, yw) należy do koła, gdy jego współrzędne spełniają nierówność:\n(x - 3)2 + (y - 2)2 ² 5. Podstawiamy współrzędne wierzchołka:\n(k - 3)2 + (k2 - 4k + 4 - 2)2 ² 5\ni porządkujemy nierówność:\nk2 - 6k + 9 + (k2 - 4k + 2)(k2 - 4k + 2) ² 5\nk2 - 6k + 9 + k4 - 8k3 + 20k2 - 16k + 4 - 5 ² 0\nk4 - 8k3 + 21k2 - 22k + 8 ² 0\nRozkładamy wielomian na czynniki, wykorzystując twierdzenie o pierwiastkach całkowitych\nwielomianu o współczynnikach całkowitych i dzielenie przez dwumian. Otrzymujemy np.:\n(k - 1)(k - 2)(k2 - 5k + 4) ² 0\n(k - 1)2(k - 2)(k - 4) ² 0\nPierwiastkami wielomianu są: k1 = 1 (dwukrotny), k2 = 2, k3 = 4.\nSzkicujemy poglądowy wykres i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:\n0\ny\n1\n-1\n2\n3\n4\nk\nWierzchołek paraboli należy do danego koła dla\n,\nk\n1\n2 4\n,\n! \" ,\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 pkt\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołka:\nx\nk\ny\nk\nk\n4\n4\nw\nw\n2\n)\nlub zapisanie nierówności:\n(x - 3)2 + (y - 2)2 ² 5.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie nierówności wynikającej z faktu, że wierzchołek paraboli należy do koła:\n(k - 3)2 + (k2 - 4k + 2)2 ² 5.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt\nZapisanie nierówności w postaci iloczynowej, np.: (k - 1)(k - 2)(k2 - 5k + 4) ² 0\nlub (k - 1)2(k - 2)(k - 4) ² 0.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze nierówność w postaci uporządkowanej: k4 - 8k3 + 21k2 - 22k + 8 ² 0\ni poprzestanie na tym lub dalej popełni błędy rzeczowe, to otrzymuje 3 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt\nBłąd w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu i konsekwentna odpowiedź albo usterka w rozwiąza-\nniu nierówności („zgubienie” jedynki, niedomknięcie przedziału).\nRozwiązanie pełne 6 pkt\nRozwiązanie nierówności:\n,\nk\n1\n2 4\n,\n! \" ,\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n14 z 17","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 16. (0-6)
Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których wierzchołek paraboli o równaniu
y = x2 - 2kx + 2k2 - 4k + 4 należy do koła o środku S = (3, 2) i promieniu
5

\n

13 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
16
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

14 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-6)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
IV etap edukacyjny - poziom podstawowy
4.12. Funkcje.
Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej
i kwadratowej do interpretacji zagadnień
geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych
w kontekście praktycznym).
IV etap edukacyjny - poziom rozszerzony
8.5. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zdający posługuje się równaniem okręgu
(x - a)2 + (y - b)2 = r2 oraz opisuje koła za pomocą
nierówności.
2.2. Wyrażenia algebraiczne.
Zdający dzieli wielomiany przez dwumian ax + b.
Przykładowe rozwiązanie
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:
x
k
a
b
k
2
2
2
w =
yw = k2 - 2k2 + 2k2 - 4k + 4 = k2 - 4k + 4
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
13 z 17
Wierzchołek W = (xw, yw) należy do koła, gdy jego współrzędne spełniają nierówność:
(x - 3)2 + (y - 2)2 ² 5. Podstawiamy współrzędne wierzchołka:
(k - 3)2 + (k2 - 4k + 4 - 2)2 ² 5
i porządkujemy nierówność:
k2 - 6k + 9 + (k2 - 4k + 2)(k2 - 4k + 2) ² 5
k2 - 6k + 9 + k4 - 8k3 + 20k2 - 16k + 4 - 5 ² 0
k4 - 8k3 + 21k2 - 22k + 8 ² 0
Rozkładamy wielomian na czynniki, wykorzystując twierdzenie o pierwiastkach całkowitych
wielomianu o współczynnikach całkowitych i dzielenie przez dwumian. Otrzymujemy np.:
(k - 1)(k - 2)(k2 - 5k + 4) ² 0
(k - 1)2(k - 2)(k - 4) ² 0
Pierwiastkami wielomianu są: k1 = 1 (dwukrotny), k2 = 2, k3 = 4.
Szkicujemy poglądowy wykres i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:
0
y
1
-1
2
3
4
k
Wierzchołek paraboli należy do danego koła dla
,
k
1
2 4
,
! " ,
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 pkt
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka:
x
k
y
k
k
4
4
w
w
2
)
lub zapisanie nierówności:
(x - 3)2 + (y - 2)2 ² 5.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie nierówności wynikającej z faktu, że wierzchołek paraboli należy do koła:
(k - 3)2 + (k2 - 4k + 2)2 ² 5.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt
Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej, np.: (k - 1)(k - 2)(k2 - 5k + 4) ² 0
lub (k - 1)2(k - 2)(k - 4) ² 0.
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci uporządkowanej: k4 - 8k3 + 21k2 - 22k + 8 ² 0
i poprzestanie na tym lub dalej popełni błędy rzeczowe, to otrzymuje 3 punkty.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt
Błąd w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu i konsekwentna odpowiedź albo usterka w rozwiąza-
niu nierówności („zgubienie” jedynki, niedomknięcie przedziału).
Rozwiązanie pełne 6 pkt
Rozwiązanie nierówności:
,
k
1
2 4
,
! " ,
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
14 z 17

","solutions":[]}