{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"17","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (0-6)\nKwadrat ABCD o boku długości a jest podstawą ostrosłupa ABCDS. Krawędź boczna AS ma\nrównież długość a i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną\nprzechodzącą przez wierzchołek A i prostopadłą do krawędzi CS. Oblicz pole otrzymanego przekroju.\nA\nB\nC\nD\nS\n\n15 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n17\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n16 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (0-6)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9.2. Stereometria.\nZdający określa, jaką figurą jest dany przekrój\ngraniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n7.3. Planimetria.\nZdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje\n(także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nA\na\na\nB\nC\nF\nG\nD\nS\nE\nŚciana ABS jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc SB\na 2\n. Z twierdzenia\nPitagorasa w trójkącie ACS mamy:\n,\nSC\nAC\nAS\na\na\na\n2\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nczyli\nSC\na 3\nZauważmy, że w przekroju otrzymujemy deltoid AEFG, musimy więc wyznaczyć długości jego\nprzekątnych AF oraz EG. Z faktu, że płaszczyzna przekroju jest prostopadła do krawędzi CS\nwynika, że AF jest wysokością trójkąta prostokątnego ACS opuszczoną na przeciwprostokątną.\nKorzystając np. ze wzoru na pole trójkąta, mamy:\nAC\nAS\nSC\nAF\n2\n2\n$\n$\n, stąd\n,\na\na\nAF\n2\n3\n2\n$\nczyli AF\na\n3\n6\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AFS obliczamy:\nSF\nAS\nAF\na\na\na\n3\n6\n9\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nc\nm\n, czyli SF\na\n3\n3\nZauważmy dalej, że prostokątne są trójkąty BCS (np. z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych)\ni FES (bo przekrój jest prostopadły do CS). Ponadto z cechy (kkk) trójkąt BCS jest podobny\ndo trójkąta FES. Prawdziwa jest zatem równość:\n,\nSC\nSE\nSB\nSF\nz której wynika, że\nSE\na\nSB\nSC\nSF\na\na\n3\n3\n2\n3\n$\n$\n, zatem SE\na\n2\n2\nZauważmy jeszcze, że\nEGS\nBDS\n3\n3\nw skali k\nSB\nSE\n2\n1\n, więc EG\nBD\na\n2\n1\n2\n2\nMożemy już obliczyć pole przekroju: P\nAF\nEG\na\na\na\n2\n1\n2\n1\n3\n6\n2\n2\n6\n3\nAEFG\n2\n$\n$\n$\n$\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 pkt\nWprowadzenie oznaczeń (np. jak na rysunku), zauważenie, że przekrojem ostrosłupa jest\ndeltoid AEFG i obliczenie: SB\na 2\n,\nSC\na 3\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n15 z 17\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie przekątnej AF deltoidu AEFG:\nAF\na\n3\n6\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt\nObliczenie SF\na\n3\n3\ni zauważenie, że trójkąt BCS jest prostokątny i podobny do trójkąta FES,\nstąd SE\na\n2\n2\nUwaga\nJeżeli zdający obliczy SF\na\n3\n3\ni poprzestanie na tym lub dalej popełni błędy rzeczowe, to otrzy-\nmuje 3 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt\nZauważenie, że\nEGS\nBDS\n3\n3\nw skali\n,\nk\nSB\nSE\n2\n1\nstąd EG\na\n2\n2\ni poprzestanie na tym\nlub rozwiązanie do końca z błędem rachunkowym.\nRozwiązanie pełne 6 pkt\nObliczenie pola deltoidu: P\na\n6\n3\nAEFG\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 17. (0-6)
Kwadrat ABCD o boku długości a jest podstawą ostrosłupa ABCDS. Krawędź boczna AS ma
również długość a i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną
przechodzącą przez wierzchołek A i prostopadłą do krawędzi CS. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
A
B
C
D
S

\n

15 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
17
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

16 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-6)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
9.2. Stereometria.
Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój
graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.
IV etap edukacyjny - poziom podstawowy
7.3. Planimetria.
Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
(także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa
trójkątów.
Przykładowe rozwiązanie
A
a
a
B
C
F
G
D
S
E
Ściana ABS jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc SB
a 2
. Z twierdzenia
Pitagorasa w trójkącie ACS mamy:
,
SC
AC
AS
a
a
a
2
3
2
2
2
2
2
2
h
czyli
SC
a 3
Zauważmy, że w przekroju otrzymujemy deltoid AEFG, musimy więc wyznaczyć długości jego
przekątnych AF oraz EG. Z faktu, że płaszczyzna przekroju jest prostopadła do krawędzi CS
wynika, że AF jest wysokością trójkąta prostokątnego ACS opuszczoną na przeciwprostokątną.
Korzystając np. ze wzoru na pole trójkąta, mamy:
AC
AS
SC
AF
2
2
$
$
, stąd
,
a
a
AF
2
3
2
$
czyli AF
a
3
6
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AFS obliczamy:
SF
AS
AF
a
a
a
3
6
9
3
2
2
2
2
2
2
c
m
, czyli SF
a
3
3
Zauważmy dalej, że prostokątne są trójkąty BCS (np. z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych)
i FES (bo przekrój jest prostopadły do CS). Ponadto z cechy (kkk) trójkąt BCS jest podobny
do trójkąta FES. Prawdziwa jest zatem równość:
,
SC
SE
SB
SF
z której wynika, że
SE
a
SB
SC
SF
a
a
3
3
2
3
$
$
, zatem SE
a
2
2
Zauważmy jeszcze, że
EGS
BDS
3
3
w skali k
SB
SE
2
1
, więc EG
BD
a
2
1
2
2
Możemy już obliczyć pole przekroju: P
AF
EG
a
a
a
2
1
2
1
3
6
2
2
6
3
AEFG
2
$
$
$
$
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 pkt
Wprowadzenie oznaczeń (np. jak na rysunku), zauważenie, że przekrojem ostrosłupa jest
deltoid AEFG i obliczenie: SB
a 2
,
SC
a 3
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
15 z 17
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie przekątnej AF deltoidu AEFG:
AF
a
3
6
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt
Obliczenie SF
a
3
3
i zauważenie, że trójkąt BCS jest prostokątny i podobny do trójkąta FES,
stąd SE
a
2
2
Uwaga
Jeżeli zdający obliczy SF
a
3
3
i poprzestanie na tym lub dalej popełni błędy rzeczowe, to otrzy-
muje 3 punkty.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt
Zauważenie, że
EGS
BDS
3
3
w skali
,
k
SB
SE
2
1
stąd EG
a
2
2
i poprzestanie na tym
lub rozwiązanie do końca z błędem rachunkowym.
Rozwiązanie pełne 6 pkt
Obliczenie pola deltoidu: P
a
6
3
AEFG
2

","solutions":[]}