{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"18","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (0-7)\nCięciwa PQ długości 8 2 podzieliła koło o promieniu 4 3 na dwa odcinki kołowe. W odcinek\nkołowy, który nie zawiera środka koła, wpisujemy trójkąty równoramienne ABC tak, że podstawa AB\njest równoległa do cięciwy PQ, a wierzchołek C jest środkiem tej cięciwy (zobacz rysunek). Wyznacz\ndługości boków tego z trójkątów, który ma największe pole.\nA\nB\nQ\nP\nC\n\n17 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n18\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18. (0-7)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\n11.6. Rachunek różniczkowy.\nZdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień\noptymalizacyjnych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nA\na\na\nh\nB\nD\nQ\nP\nS\nC\nWprowadzamy oznaczenia np. jak na rysunku. Zauważmy, że\n,\nSP\n4 3\nPC\nPQ\n2\n1\n4 2\n. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie PCS mamy:\n,\nSC\nSP\nPC\n4 3\n4 2\n16\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nh\nwięc\nSC\n4\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DBS mamy:\nSB\nSD\nDB\n2\n2\n2\nh\na\n4 3\n4\n2\n2\n2\nh\nh\na\nh\nh\n32\n8\n2\n2\na\nh\nh\n32\n8\n2\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n16 z 17\nZatem pole trójkąta ABC w zależności od jego wysokości h wyraża się wzorem:\n,\nP\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\n32\n8\n8\n32\nABC\n2\n4\n3\n2\n$\n^ h\ngdzie dziedziną tej funkcji jest zbiór D:\n,\nh\n0 4 3\n4\n! ^\nh\nChcemy obliczyć, dla jakiej wysokości\n,\nh\n0 4 3\n4\n! ^\nh funkcja PABC określona wzorem\nP\nh\nh\nh\nh\n8\n32\nABC\n4\n3\n2\n^ h\nprzyjmuje wartość największą.\nPonieważ funkcja y\nx\njest rosnąca, wystarczy zbadać funkcję\nf h\nh\nh\nh\n8\n32\n4\n3\n2\n^ h\nWyznaczamy pochodną tej funkcji:\n,\n'f h\nh\nh\nh\n4\n24\n64\n3\n2\n^ h\nD\nD =\nl\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej: '\nf h\nh h\nh\n0\n4\n6\n16\n0\n2\n,\nh\nh\nStąd h ! {-8, 0, 2}.\n0\nf (h)\n-2\n-3\n-4\n-8\n2\n4\nh\n4\n- 4\n3\nBadamy znak pochodnej funkcji f w dziedzinie:\n'f h\n^ h > 0 dla h ! (0, 2) oraz 'f h\n^ h < 0 dla h ! (2, 4\n3 - 4).\nZatem funkcja f jest rosnąca w przedziale\n,0 2\ni malejąca w przedziale\n,\n2 4 3\n4\n- h Wynika stąd,\nże dla h = 2 funkcja f przyjmuje wartość największą, więc również pole PABC(h) przyjmuje wartość\nnajwiększą w dziedzinie.\nPozostało nam wyznaczyć długości boków trójkąta ABC o największym polu:\n,\na\nh\nh\n32\n8\n2 3\n2\n,\nAB\na\n2\n4 3\nAC\nBC\n2 3\n2\n4\n2\n2\nh\nOgólny schemat oceniania\nRozwiązanie zadania optymalizacyjnego za pomocą rachunku różniczkowego składa się z trzech\netapów:\n1. Zbudowanie modelu matematycznego (3 punkty).\n2. Zbadanie tego modelu (3 punkty).\n3. Wyciągnięcie wniosków, końcowe obliczenia itp. (1 punkt).\nW pierwszych dwóch etapach można wyróżnić następujące części:\n1. a) wybór zmiennej i wyrażenie za pomocą tej zmiennej wielkości, które będą potrzebne do\nzdefiniowania funkcji,\n1. b) zdefiniowanie funkcji jednej zmiennej,\n1. c) określenie dziedziny tej funkcji,\n2. a) wyznaczenie pochodnej i jej dziedziny,\n2. b) obliczenie miejsc zerowych tej pochodnej,\n2. c) uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja przyjmuje wartość\nnajmniejszą/największą.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n17 z 17\nZa poprawne rozwiązanie każdej z powyższych części zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia\nczęść danego etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nW tym przypadku:\n1. a) Wprowadzenie oznaczeń (np. jak na rysunku), wyznaczenie długości odcinka SC: SC\n4\noraz uzależnienie a od h:\na\nh\nh\n32\n8\n2\n1. b) Zapisanie pola trójkąta ABC jako funkcji zmiennej h: P\nh\nh\nh\nh\n32\n8\nABC\n2 $\n^ h\nlub\nP\nh\nh\nh\nh\n8\n32\nABC\n4\n3\n2\n^ h\n1. c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać wysokość trójkąta ABC: h ! (0, 4\n3 - 4).\n2. a) Zauważenie, że ponieważ funkcja y\nx\njest rosnąca, wystarczy zbadać funkcję\nf h\nh\nh\nh\n8\n32\n4\n3\n2\n^ h\nWyznaczenie pochodnej:\n,\n'f h\nh\nh\nh\n4\n24\n64\n3\n2\n^ h\nD\nD =\nl\n2. b) Obliczenie miejsc zerowych pochodnej: '\n, ,\nf h\nh\n0\n8 0 2\n,\n!\n^ h\n,\n2. c) Zbadanie znaku pochodnej w dziedzinie: 'f h\n^ h > 0 dla h ! (0, 2) oraz 'f h\n^ h < 0 dla\nh ! (2, 4\n3 - 4), określenie monotoniczności funkcji f : w przedziale\n,0 2\nfunkcja f\njest rosnąca i w przedziale\n,2 4 3\n4\n- h jest malejąca. Wynika stąd, że dla h = 2 funkcja f\n(więc również PABC) przyjmuje wartość największą w dziedzinie.\n3.\nWyznaczenie długości boków trójkąta ABC o największym polu:\n,\nAB\na\n2\n4 3\nAC\nBC\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 18. (0-7)
Cięciwa PQ długości 8 2 podzieliła koło o promieniu 4 3 na dwa odcinki kołowe. W odcinek
kołowy, który nie zawiera środka koła, wpisujemy trójkąty równoramienne ABC tak, że podstawa AB
jest równoległa do cięciwy PQ, a wierzchołek C jest środkiem tej cięciwy (zobacz rysunek). Wyznacz
długości boków tego z trójkątów, który ma największe pole.
A
B
Q
P
C

\n

17 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
18
Maks. liczba pkt
7
Uzyskana liczba pkt

\n

18 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-7)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
11.6. Rachunek różniczkowy.
Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień
optymalizacyjnych.
Przykładowe rozwiązanie
A
a
a
h
B
D
Q
P
S
C
Wprowadzamy oznaczenia np. jak na rysunku. Zauważmy, że
,
SP
4 3
PC
PQ
2
1
4 2
. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie PCS mamy:
,
SC
SP
PC
4 3
4 2
16
2
2
2
2
2
h
h
więc
SC
4
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DBS mamy:
SB
SD
DB
2
2
2
h
a
4 3
4
2
2
2
h
h
a
h
h
32
8
2
2
a
h
h
32
8
2
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
16 z 17
Zatem pole trójkąta ABC w zależności od jego wysokości h wyraża się wzorem:
,
P
h
h
h
h
h
h
h
32
8
8
32
ABC
2
4
3
2
$
^ h
gdzie dziedziną tej funkcji jest zbiór D:
,
h
0 4 3
4
! ^
h
Chcemy obliczyć, dla jakiej wysokości
,
h
0 4 3
4
! ^
h funkcja PABC określona wzorem
P
h
h
h
h
8
32
ABC
4
3
2
^ h
przyjmuje wartość największą.
Ponieważ funkcja y
x
jest rosnąca, wystarczy zbadać funkcję
f h
h
h
h
8
32
4
3
2
^ h
Wyznaczamy pochodną tej funkcji:
,
'f h
h
h
h
4
24
64
3
2
^ h
D
D =
l
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej: '
f h
h h
h
0
4
6
16
0
2
,
h
h
Stąd h ! {-8, 0, 2}.
0
f (h)
-2
-3
-4
-8
2
4
h
4

\n\n

3
Badamy znak pochodnej funkcji f w dziedzinie:
'f h
^ h > 0 dla h ! (0, 2) oraz 'f h
^ h < 0 dla h ! (2, 4
3 - 4).
Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale
,0 2
i malejąca w przedziale
,
2 4 3
4

\n\n

że dla h = 2 funkcja f przyjmuje wartość największą, więc również pole PABC(h) przyjmuje wartość
największą w dziedzinie.
Pozostało nam wyznaczyć długości boków trójkąta ABC o największym polu:
,
a
h
h
32
8
2 3
2
,
AB
a
2
4 3
AC
BC
2 3
2
4
2
2
h
Ogólny schemat oceniania
Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego za pomocą rachunku różniczkowego składa się z trzech
etapów:

\n
  1. Zbudowanie modelu matematycznego (3 punkty).
  2. Zbadanie tego modelu (3 punkty).
  3. Wyciągnięcie wniosków, końcowe obliczenia itp. (1 punkt).
\n

W pierwszych dwóch etapach można wyróżnić następujące części:

\n
  1. a) wybór zmiennej i wyrażenie za pomocą tej zmiennej wielkości, które będą potrzebne do
\n

zdefiniowania funkcji,

\n
  1. b) zdefiniowanie funkcji jednej zmiennej,
  2. c) określenie dziedziny tej funkcji,
  3. a) wyznaczenie pochodnej i jej dziedziny,
  4. b) obliczenie miejsc zerowych tej pochodnej,
  5. c) uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja przyjmuje wartość
\n

najmniejszą/największą.
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
17 z 17
Za poprawne rozwiązanie każdej z powyższych części zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia
część danego etapu została zrealizowana bezbłędnie.
W tym przypadku:

\n
  1. a) Wprowadzenie oznaczeń (np. jak na rysunku), wyznaczenie długości odcinka SC: SC
\n

4
oraz uzależnienie a od h:
a
h
h
32
8
2

\n
  1. b) Zapisanie pola trójkąta ABC jako funkcji zmiennej h: P
\n

h
h
h
h
32
8
ABC
2 $
^ h
lub
P
h
h
h
h
8
32
ABC
4
3
2
^ h

\n
  1. c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać wysokość trójkąta ABC: h ! (0, 4
\n

3 - 4).

\n
  1. a) Zauważenie, że ponieważ funkcja y
\n

x
jest rosnąca, wystarczy zbadać funkcję
f h
h
h
h
8
32
4
3
2
^ h
Wyznaczenie pochodnej:
,
'f h
h
h
h
4
24
64
3
2
^ h
D
D =
l

\n
  1. b) Obliczenie miejsc zerowych pochodnej: '
\n

, ,
f h
h
0
8 0 2
,
!
^ h
,

\n
  1. c) Zbadanie znaku pochodnej w dziedzinie: 'f h
\n

^ h > 0 dla h ! (0, 2) oraz 'f h
^ h < 0 dla
h ! (2, 4
3 - 4), określenie monotoniczności funkcji f : w przedziale
,0 2
funkcja f
jest rosnąca i w przedziale
,2 4 3
4

\n\n

(więc również PABC) przyjmuje wartość największą w dziedzinie.
3.
Wyznaczenie długości boków trójkąta ABC o największym polu:
,
AB
a
2
4 3
AC
BC
4

","solutions":[]}