{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"8","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-2)\nCiąg geometryczny (an), określony dla n H1, jest zbieżny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Suma\nwszystkich wyrazów tego ciągu jest 7 razy większa od sumy wszystkich jego wyrazów o numerach\nparzystych. Wyznacz iloraz tego ciągu geometrycznego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n5.3. Ciągi.\nZdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne\ni oblicza ich sumy.\nPrzykładowe rozwiązanie\nCiąg geometryczny jest zbieżny do zera, gdy jego iloraz spełnia warunek q < 1. Wtedy również suma\nwszystkich jego wyrazów, czyli szereg geometryczny, jest zbieżna. Szereg utworzony ze wszystkich\nwyrazów ciągu geometrycznego o numerach parzystych jest również zbieżnym szeregiem\ngeometrycznym o ilorazie qʹ = q2. Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego możemy zapisać\nrówność:\nq\na\nq\na\nq\n7\n1\n1\n1\n2\n1\n$\n$\n. Z założenia, że a1 > 0 (a więc różne od zera) oraz q < 1 (a więc q ≠ 1),\nmożemy obie strony równania podzielić przez a1 i pomnożyć przez q - 1. Otrzymujemy wówczas:\nq\nq\n1\n1\n7\n, czyli 1 + q = 7q. Stąd q = 6\n1 .\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wywnioskuje, że szereg utworzony ze wszystkich wyrazów zbieżnego ciągu geometrycznego\no numerach parzystych jest zbieżnym szeregiem geometrycznym.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zauważy, że qʹ = q2 i obliczy iloraz tego ciągu: q = 6\n1 .\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n6 z 17","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 8. (0-2)
Ciąg geometryczny (an), określony dla n H1, jest zbieżny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Suma
wszystkich wyrazów tego ciągu jest 7 razy większa od sumy wszystkich jego wyrazów o numerach
parzystych. Wyznacz iloraz tego ciągu geometrycznego.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
5.3. Ciągi.
Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne
i oblicza ich sumy.
Przykładowe rozwiązanie
Ciąg geometryczny jest zbieżny do zera, gdy jego iloraz spełnia warunek q < 1. Wtedy również suma
wszystkich jego wyrazów, czyli szereg geometryczny, jest zbieżna. Szereg utworzony ze wszystkich
wyrazów ciągu geometrycznego o numerach parzystych jest również zbieżnym szeregiem
geometrycznym o ilorazie qʹ = q2. Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego możemy zapisać
równość:
q
a
q
a
q
7
1
1
1
2
1
$
$
. Z założenia, że a1 > 0 (a więc różne od zera) oraz q < 1 (a więc q ≠ 1),
możemy obie strony równania podzielić przez a1 i pomnożyć przez q - 1. Otrzymujemy wówczas:
q
q
1
1
7
, czyli 1 + q = 7q. Stąd q = 6
1 .
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy wywnioskuje, że szereg utworzony ze wszystkich wyrazów zbieżnego ciągu geometrycznego
o numerach parzystych jest zbieżnym szeregiem geometrycznym.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zauważy, że qʹ = q2 i obliczy iloraz tego ciągu: q = 6
1 .
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
6 z 17

","solutions":[]}