{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nKwadrat K1 ma bok długości a. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty K2, K3, K4, … takie,\nże kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz\nrysunek).\nWyznacz pole kwadratu K12.\nK1\nK2\nK3 K4\na","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n5.4. Zdający dobiera strategię do konkretnej sytuacji\ni wykorzystuje wiadomości o ciągu geometrycznym.\nKwadrat K1 ma bok długości a. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty K2, K3, K4, … takie, że\nkolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu, jak na rysunku.\nWyznacz pole kwadratu K12.\nRozwiązanie (I sposób)\nZauważamy, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny \n\nnk\ndla\n1\nn  o pierwszym\nwyrazie\n2\n1k\na\n\noraz ilorazie\n1\n4\nq \n. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\notrzymujemy\n11\n12\n1\n1\n4\nk\nk \n\n\n\n\n\n\n, stąd pole kwadratu K12 jest równe\n2\n11\n4\na .\nRozwiązanie (II sposób)\nZauważamy, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny \n\nnk\ndla\n1\nn  o pierwszym\nwyrazie\n2\n1k\na\n\noraz ilorazie\n1\n4\nq \n. Wypisujemy kolejne wyrazy ciągu \n\nnk\n:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na ,\nzatem\npole\nkwadratu K12 jest równe\n2\n11\n4\na .\nK\nK\nK\nK\na\n9\nSchemat oceniania obu sposobów\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zauważy, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie\n2\n1k\na\n\noraz ilorazie\n1\n4\nq \nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy pole kwadratu K12 :\n2\n11\n4\na .","solution":"$\\dfrac{a^{2}}{4^{11}}$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Kwadrat K1 ma bok długości a. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty K2, K3, K4, … takie,
że kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz
rysunek).
Wyznacz pole kwadratu K12.
K1
K2
K3 K4
a

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
5.4. Zdający dobiera strategię do konkretnej sytuacji
i wykorzystuje wiadomości o ciągu geometrycznym.
Kwadrat K1 ma bok długości a. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty K2, K3, K4, … takie, że
kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu, jak na rysunku.
Wyznacz pole kwadratu K12.
Rozwiązanie (I sposób)
Zauważamy, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny 

nk
dla
1
n  o pierwszym
wyrazie
2
1k
a

oraz ilorazie
1
4
q 
. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
otrzymujemy
11
12
1
1
4
k
k 






, stąd pole kwadratu K12 jest równe
2
11
4
a .
Rozwiązanie (II sposób)
Zauważamy, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny 

nk
dla
1
n  o pierwszym
wyrazie
2
1k
a

oraz ilorazie
1
4
q 
. Wypisujemy kolejne wyrazy ciągu 

nk
:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a ,
zatem
pole
kwadratu K12 jest równe
2
11
4
a .
K
K
K
K
a
9
Schemat oceniania obu sposobów
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zauważy, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie
2
1k
a

oraz ilorazie
1
4
q 
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy pole kwadratu K12 :
2
11
4
a .

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{a^{2}}{4^{11}}$

"}]}