{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nW pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do\nwewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).\nWykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie\nwyznaczających go okręgów.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7.2. Uczeń korzysta z własności stycznej do okręgu.\nW pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do\nwewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).\nWykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie\nwyznaczających go okręgów.\nRozwiązanie\nNiech R oznacza promień większego, a r promień mniejszego z okręgów wyznaczających\npierścień.\nWyznaczamy pole pierścienia\n\n\n2\n2\n2\n2\nP\nR\nr\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n\n. Zauważamy, że trójkąt, którego\nbokami są promienie okręgów i połowa danej cięciwy jest trójkątem prostokątnym. Mamy\nwięc:\n2\n2\n2\n5\nR\nr\n\n\nskąd\n2\n2\n25\nR\nr\n\n\nPodstawiamy do wzoru na pole pierścienia\n\n\n2\n2\n25\nP\nR\nr\n\n\n\n\n\nZatem pole pierścienia, przy danej długości cięciwy zewnętrznego okręgu stycznej do okręgu\nwewnętrznego, nie zależy od promieni wyznaczających go okręgów.\n10\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze wzór na pole pierścienia kołowego\n2\n2\nP\nR\nr\n\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wykaże, że tezę twierdzenia.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do
wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).
Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie
wyznaczających go okręgów.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.
7.2. Uczeń korzysta z własności stycznej do okręgu.
W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do
wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).
Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie
wyznaczających go okręgów.
Rozwiązanie
Niech R oznacza promień większego, a r promień mniejszego z okręgów wyznaczających
pierścień.
Wyznaczamy pole pierścienia


2
2
2
2
P
R
r
R
r







. Zauważamy, że trójkąt, którego
bokami są promienie okręgów i połowa danej cięciwy jest trójkątem prostokątnym. Mamy
więc:
2
2
2
5
R
r


skąd
2
2
25
R
r


Podstawiamy do wzoru na pole pierścienia


2
2
25
P
R
r





Zatem pole pierścienia, przy danej długości cięciwy zewnętrznego okręgu stycznej do okręgu
wewnętrznego, nie zależy od promieni wyznaczających go okręgów.
10
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze wzór na pole pierścienia kołowego
2
2
P
R
r




Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wykaże, że tezę twierdzenia.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}