{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nProste l i k przecinają się w punkcie\n(0, 4)\nA \n. Prosta l wyznacza wraz z dodatnimi\npółosiami układu współrzędnych trójkąt o polu 8, zaś prosta k - trójkąt o polu 10. Oblicz\npole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt A oraz punkty przecięcia prostych l i k\nz osią Ox.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8.4. Zdający korzysta z własności prostej na płaszczyźnie\nkartezjańskiej.\nProste l i k przecinają się w punkcie\n(0, 4)\nA \n. Prosta l wyznacza wraz z dodatnimi\npółosiami układu współrzędnych trójkąt o polu 8, zaś prosta k - trójkąt o polu 10. Oblicz\npole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt A oraz punkty przecięcia prostych l i k\nz osią Ox.\nRozwiązanie I sposób\nZauważamy, że trójkąty wyznaczone przez osie i podane proste są prostokątne. Znajdujemy\ndługości przyprostokatnych zawartych w osi Ox. Niech b i c oznaczają długości boków\n12\ntrójkątów wyznaczonych odpowiednio przez proste l i k. Ze wzoru na pole trójkąta\notrzymujemy: 1 4\n8\n2\nb\n\n\n, stąd\n4\nb \noraz 1 4\n10\n2\nc\n\n\n, stąd\n5\nc \n. Oznaczamy punkty\nprzecięcia prostych l i k z osią Ox odpowiednio B oraz C .\nObliczamy długości odcinków BC oraz OA:\n1,\n4\nBC\nOA\n\n\n. Pole trójkąta ABC jest równe\n1\n2\nP\nBC\nOA\n\n\n, zatem\n1 1 4\n2\n2\nP \n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy długości przyprostokątnych leżących na osi Ox w obu trójkątach: 4, 8\nalbo\npoda współrzędne punktów przecięcia prostych l i k z osią Ox:\n(4, 0)\nB \n,\n(8, 0)\nC \ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy pole trójkąta ABC:\n2\nP \nRozwiązanie II sposób\nZauważamy, że szukane pole trójkąta ABC jest różnicą pól trójkąta ACO oraz ABO.\nStąd\n10 8\n2\nP \n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zauważy i zapisze, że szukane pole trójkąta ABC jest różnicą pól trójkąta ACO oraz\nABO.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy pole trójkąta ABC:\n2\nP \n13","solution":"$P=2$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Proste l i k przecinają się w punkcie
(0, 4)
A 
. Prosta l wyznacza wraz z dodatnimi
półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu 8, zaś prosta k - trójkąt o polu 10. Oblicz
pole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt A oraz punkty przecięcia prostych l i k
z osią Ox.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
8.4. Zdający korzysta z własności prostej na płaszczyźnie
kartezjańskiej.
Proste l i k przecinają się w punkcie
(0, 4)
A 
. Prosta l wyznacza wraz z dodatnimi
półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu 8, zaś prosta k - trójkąt o polu 10. Oblicz
pole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt A oraz punkty przecięcia prostych l i k
z osią Ox.
Rozwiązanie I sposób
Zauważamy, że trójkąty wyznaczone przez osie i podane proste są prostokątne. Znajdujemy
długości przyprostokatnych zawartych w osi Ox. Niech b i c oznaczają długości boków
12
trójkątów wyznaczonych odpowiednio przez proste l i k. Ze wzoru na pole trójkąta
otrzymujemy: 1 4
8
2
b


, stąd
4
b 
oraz 1 4
10
2
c


, stąd
5
c 
. Oznaczamy punkty
przecięcia prostych l i k z osią Ox odpowiednio B oraz C .
Obliczamy długości odcinków BC oraz OA:
1,
4
BC
OA


. Pole trójkąta ABC jest równe
1
2
P
BC
OA


, zatem
1 1 4
2
2
P 


Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy obliczy długości przyprostokątnych leżących na osi Ox w obu trójkątach: 4, 8
albo
poda współrzędne punktów przecięcia prostych l i k z osią Ox:
(4, 0)
B 
,
(8, 0)
C 
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy pole trójkąta ABC:
2
P 
Rozwiązanie II sposób
Zauważamy, że szukane pole trójkąta ABC jest różnicą pól trójkąta ACO oraz ABO.
Stąd
10 8
2
P 

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zauważy i zapisze, że szukane pole trójkąta ABC jest różnicą pól trójkąta ACO oraz
ABO.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy pole trójkąta ABC:
2
P 
13

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P=2$

"}]}