{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nDane są wierzchołki trójkąta ABC:\n(2,2)\nA \n,\n(9, 5)\nB \ni\n(3, 9)\nC \n. Z wierzchołka C\npoprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D. Wyznacz\nrównanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8.1. Zdający wyznacza równanie prostej.\n8.3. Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej.\n8.4. Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych.\nDane są wierzchołki trójkąta ABC:\n(2, 2)\nA \n,\n(9, 5)\nB \ni\n(3, 9)\nC \n. Z wierzchołka C\npoprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D. Wyznacz\nrównanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC.\nRozwiązanie\nWyznaczamy równanie prostej AB. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy\n5\n2\n3\n9\n2\n7\nAB\na\n\n\n\n\n. Prosta AB przechodzi przez punkt\n(2, 2)\nA \nzatem\n3\n7\ny\nx\nb\n\n\n,\n6\n2\n7\nb\n\n\nstąd\n8\n7\nb \nProsta AB ma postać\n3\n8\n7\n7\ny\nx\n\n\nProsta zawierająca wysokość jest prostopadła do AB i przechodzi przez punkt C.\n7\n, 9\n7\n3\ny\nx\nb\nb\n\n\n\n, stąd\n16\nb \n15\nProsta CD ma zatem postać\n7\n16\n3\ny\nx\n\n\nWspółrzędne punktu D znajdujemy rozwiązując układ równań zbudowany z równań prostych\nAB i CD:\n7\n16\n3\n3\n8\n7\n7\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n7\n3\n8\n16\n3\n7\n7\n49\n336\n9\n24\n58\n312\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n156\n29\n100\n29\nx\ny\n\n\n\n\n\n156 100\n,\n29\n29\nD\n\n\n\n\n\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej BC jest równy\n5\n9\n4\n2\n9\n3\n6\n3\nBC\na\n\n\n\n\n\nSzukana prosta ma zatem postać\n2\n3\ny\nx\nb\n\n\ni przechodzi przez punkt D.\n100\n2 156\n29\n3\n29\nb\n\n\n\n, stąd\n1\n7 29\nb \nSzukana prosta ma postać\n2\n1\n7\n3\n29\ny\nx\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nWyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB lub prostej BC:\n3\n7\nAB\na\n\n,\n2\n3\nBC\na\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równań prostych AB i CD:\n7\n16\n3\n3\n8\n7\n7\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n16\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZnalezienie punktu D:\n156 100\n,\n29\n29\nD\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania 4 pkt\nRozwiązanie zadania do końca z błędem rachunkowym w wyznaczeniu punktu D.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZapisanie równania prostej równoległej do BC i przechodzącej przez punkt D:","solution":"$y=-\\dfrac{2}{3}x+7\\dfrac{1}{29}$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 32. (0-5)
Dane są wierzchołki trójkąta ABC:
(2,2)
A 
,
(9, 5)
B 
i
(3, 9)
C 
. Z wierzchołka C
poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D. Wyznacz
równanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
8.1. Zdający wyznacza równanie prostej.
8.3. Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej.
8.4. Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia
dwóch prostych.
Dane są wierzchołki trójkąta ABC:
(2, 2)
A 
,
(9, 5)
B 
i
(3, 9)
C 
. Z wierzchołka C
poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D. Wyznacz
równanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC.
Rozwiązanie
Wyznaczamy równanie prostej AB. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy
5
2
3
9
2
7
AB
a




. Prosta AB przechodzi przez punkt
(2, 2)
A 
zatem
3
7
y
x
b


,
6
2
7
b


stąd
8
7
b 
Prosta AB ma postać
3
8
7
7
y
x


Prosta zawierająca wysokość jest prostopadła do AB i przechodzi przez punkt C.
7
, 9
7
3
y
x
b
b



, stąd
16
b 
15
Prosta CD ma zatem postać
7
16
3
y
x


Współrzędne punktu D znajdujemy rozwiązując układ równań zbudowany z równań prostych
AB i CD:
7
16
3
3
8
7
7
y
x
y
x








7
3
8
16
3
7
7
49
336
9
24
58
312
x
x
x
x
x










156
29
100
29
x
y





156 100
,
29
29
D






Współczynnik kierunkowy prostej BC jest równy
5
9
4
2
9
3
6
3
BC
a





Szukana prosta ma zatem postać
2
3
y
x
b


i przechodzi przez punkt D.
100
2 156
29
3
29
b



, stąd
1
7 29
b 
Szukana prosta ma postać
2
1
7
3
29
y
x


Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB lub prostej BC:
3
7
AB
a

,
2
3
BC
a

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wyznaczenie równań prostych AB i CD:
7
16
3
3
8
7
7
y
x
y
x








16
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Znalezienie punktu D:
156 100
,
29
29
D






Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania 4 pkt
Rozwiązanie zadania do końca z błędem rachunkowym w wyznaczeniu punktu D.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Zapisanie równania prostej równoległej do BC i przechodzącej przez punkt D:

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y=-\\dfrac{2}{3}x+7\\dfrac{1}{29}$

"}]}