{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDane są dwie urny z kulami, w każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała\ni 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz\nsymetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną\nkulę z pierwszej urny, natomiast jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę\nz drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe\nA. 1\n15\nB. 2\n5\nC. 7\n15\nD. 3\n5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (1 p.)\nDane są dwie urny z kulami. W każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała\ni 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz syme-\ntryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę\nz pierwszej urny, jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny.\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe\nA. 1\n15.\nB. 2\n5.\nC. 7\n15.\nD. 3\n5.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n10.3R Uczeń korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.\nRozwiązanie (I sposób)\nRozwiązujemy zadanie metodą drzewa.\nI\nII\nB\nC\nB\nC\n1\n3\n2\n3\n1\n5\n4\n5\n3\n5\n2\n5\nNastępnie obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: 1\n3 · 1\n5 + 2\n3 · 3\n5 = 7\n15.\nOdp.: C.\nRozwiązanie (II sposób)\nNiech U1 i U2 oznaczają odpowiednio zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z pierwszej urny\ni zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z drugiej urny.\nZdarzenia U1 i U2 spełniają warunki:\n1. U1 ∩U2 = ∅,\n2. U1 ∪U2 = Ω,\n3. P (U1) = 2\n6 = 1\n3 > 0,\n4. P (U2) = 4\n6 = 2\n3 > 0.\nRozważmy zdarzenie B polegające na wylosowania kuli białej.\nXII/2\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nPrawdopodobieństwo tego zdarzenia możemy obliczyć, korzystając ze wzoru\nP (B) = P (B|U1)·P (U1)+P (B|U2)·P (U2),\ngdzie prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem, że losujemy z pierwszej\nurny, jest równe P (B|U1) = 1\n5 i prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem,\nże losujemy z drugiej urny, jest równe P (B|U2) = 3\n5 .\nObliczamy P (B) = 1\n5 · 1\n3 + 3\n5 · 2\n3 = 7\n15.\nOdp.: C.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Dane są dwie urny z kulami, w każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała
i 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz
symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną
kulę z pierwszej urny, natomiast jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę
z drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A. 1
15
B. 2
5
C. 7
15
D. 3
5

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (1 p.)
Dane są dwie urny z kulami. W każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała
i 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz syme-
tryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę
z pierwszej urny, jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A. 1
15.
B. 2
5.
C. 7
15.
D. 3
5.
Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Wymagania szczegółowe
10.3R Uczeń korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
Rozwiązanie (I sposób)
Rozwiązujemy zadanie metodą drzewa.
I
II
B
C
B
C
1
3
2
3
1
5
4
5
3
5
2
5
Następnie obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: 1
3 · 1
5 + 2
3 · 3
5 = 7
15.
Odp.: C.
Rozwiązanie (II sposób)
Niech U1 i U2 oznaczają odpowiednio zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z pierwszej urny
i zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z drugiej urny.
Zdarzenia U1 i U2 spełniają warunki:

\n
  1. U1 ∩U2 = ∅,
  2. U1 ∪U2 = Ω,
  3. P (U1) = 2
\n

6 = 1
3 > 0,

\n
  1. P (U2) = 4
\n

6 = 2
3 > 0.
Rozważmy zdarzenie B polegające na wylosowania kuli białej.
XII/2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia możemy obliczyć, korzystając ze wzoru
P (B) = P (B|U1)·P (U1)+P (B|U2)·P (U2),
gdzie prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem, że losujemy z pierwszej
urny, jest równe P (B|U1) = 1
5 i prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem,
że losujemy z drugiej urny, jest równe P (B|U2) = 3
5 .
Obliczamy P (B) = 1
5 · 1
3 + 3
5 · 2
3 = 7
15.
Odp.: C.

","solutions":[]}