{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nPunkty\n1\n2\n3\n23\n24\n,\n,\n,\n,\n,\nP P P\nP\nP\n\ndzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest\npunktem przecięcia cięciw\n11\n22\nP P i\n1 16\nPP .\nUdowodnij, że\n16\n11\n60\nP AP \n\n","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (3 p.)\nPunkty P1,P2,P3, ,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest\npunktem przecięcia cięciw P11P22 i P1P16 .\nXII/9\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nP1\nP2\nP3\nP4\nP5\nP6\nP7\nP8\nP9\nP10\nP11\nP12\nP13\nP14\nP15\nP16\nP17\nP18\nP19\nP20\nP21\nP22\nP23\nP24\nA\nUdowodnij, że | <) P16AP11| = 60◦.\nWymagania ogólne\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nWymagania szczegółowe\n7.1 Uczeń stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym.\nRozwiązanie (I sposób)\nNarysujmy cięciwę P1P11.\nP1\nP2\nP3\nP4\nP5\nP6\nP7\nP8\nP9\nP10\nP11\nP12\nP13\nP14\nP15\nP16\nP17\nP18\nP19\nP20\nP21\nP22\nP23\nP24\nA\nKąt wpisany P11P1P16 jest oparty na krótszym łuku P16P11. Łuk ten stanowi 5\n24 okręgu. Zatem\nkąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę 5\n24 ·360◦=75◦. Stąd wynika, że kąt wpisany oparty\nna tym łuku ma miarę 37,5◦. Podobnie stwierdzamy, że kąt wpisany P1P11P22 jest oparty na\nłuku stanowiącym 3\n24 okręgu, a więc ma miarę 22,5◦. Stąd wynika, że\n| <) P11AP16| = 180◦-(180◦-22,5◦-37,5◦) = 60◦.\nXII/10\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający obliczy miarę jednego z dwóch kątów wpisanych, opartych na łukach P11P16 lub P1P22:\n| <) P16P1P11| = 37,5◦,\n| <) P1P11P22| = 22,5◦.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający obliczy miary dwóch kątów wpisanych, opartych na łukach P11P16 oraz P1P22:\n| <) P16P1P11| = 37,5◦,\n| <) P1P11P22| = 22,5◦.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający obliczy miarę kąta P11AP16.\nRozwiązanie (II sposób)\nZauważmy najpierw (zobacz rysunek), że jeżeli łuki AD i BC są równe, przy czym punkty C\ni D leżą po tej samej stronie prostej AB, to proste AB i CD są równoległe.\nC\nB\nA\nD\nWynika to wprost z równości kątów BAC i ACD (kąty wpisane oparte na równych łukach).\nPonieważ punkty P1 i P22 oraz P8 i P11 wyznaczają łuki o tej samej długości, więc cięciwa P1P8\njest równoległa do P11P22.\nXII/11\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nP1\nP2\nP3\nP4\nP5\nP6\nP7\nP8\nP9\nP10\nP11\nP12\nP13\nP14\nP15\nP16\nP17\nP18\nP19\nP20\nP21\nP22\nP23\nP24\nA\nKąt wpisany P8P1P16 jest oparty na krótszym z łuków P8P16, który stanowi 8\n24 = 1\n3 okręgu,\nwięc\n| <) P8P1P16| = 1\n3 · 1\n2 ·360◦= 60◦.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający narysuje cięciwę P1P8 i zapisze, że jest ona równoległa do cięciwy P11P22.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający obliczy miarę kąta P11AP16.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 10. (0-3)
Punkty
1
2
3
23
24
,
,
,
,
,
P P P
P
P

dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest
punktem przecięcia cięciw
11
22
P P i
1 16
PP .
Udowodnij, że
16
11
60
P AP 

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (3 p.)
Punkty P1,P2,P3, ,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest
punktem przecięcia cięciw P11P22 i P1P16 .
XII/9
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
P19
P20
P21
P22
P23
P24
A
Udowodnij, że | <) P16AP11| = 60◦.
Wymagania ogólne
V. Rozumowanie i argumentacja.
Wymagania szczegółowe
7.1 Uczeń stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym.
Rozwiązanie (I sposób)
Narysujmy cięciwę P1P11.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
P19
P20
P21
P22
P23
P24
A
Kąt wpisany P11P1P16 jest oparty na krótszym łuku P16P11. Łuk ten stanowi 5
24 okręgu. Zatem
kąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę 5
24 ·360◦=75◦. Stąd wynika, że kąt wpisany oparty
na tym łuku ma miarę 37,5◦. Podobnie stwierdzamy, że kąt wpisany P1P11P22 jest oparty na
łuku stanowiącym 3
24 okręgu, a więc ma miarę 22,5◦. Stąd wynika, że
| <) P11AP16| = 180◦-(180◦-22,5◦-37,5◦) = 60◦.
XII/10
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający obliczy miarę jednego z dwóch kątów wpisanych, opartych na łukach P11P16 lub P1P22:
| <) P16P1P11| = 37,5◦,
| <) P1P11P22| = 22,5◦.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający obliczy miary dwóch kątów wpisanych, opartych na łukach P11P16 oraz P1P22:
| <) P16P1P11| = 37,5◦,
| <) P1P11P22| = 22,5◦.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający obliczy miarę kąta P11AP16.
Rozwiązanie (II sposób)
Zauważmy najpierw (zobacz rysunek), że jeżeli łuki AD i BC są równe, przy czym punkty C
i D leżą po tej samej stronie prostej AB, to proste AB i CD są równoległe.
C
B
A
D
Wynika to wprost z równości kątów BAC i ACD (kąty wpisane oparte na równych łukach).
Ponieważ punkty P1 i P22 oraz P8 i P11 wyznaczają łuki o tej samej długości, więc cięciwa P1P8
jest równoległa do P11P22.
XII/11
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
P19
P20
P21
P22
P23
P24
A
Kąt wpisany P8P1P16 jest oparty na krótszym z łuków P8P16, który stanowi 8
24 = 1
3 okręgu,
więc
| <) P8P1P16| = 1
3 · 1
2 ·360◦= 60◦.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający narysuje cięciwę P1P8 i zapisze, że jest ona równoległa do cięciwy P11P22.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający obliczy miarę kąta P11AP16.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}