{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n20\n24\n18\n4\n12\n5\nx\nmx\nm\nx\nm\n\n\n\n\n","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (3 p.)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest\nnierówność\n20x2 -24mx+18m2 ­ 4x+12m-5.\nWymagania ogólne\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nWymagania szczegółowe\n3.2R Uczeń rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształcamy daną nierówność w sposób równoważny do postaci:\n20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 ­ 0.\nSposób „trikowy” polega na odpowiednim grupowaniu:\n20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 = (2x-1)2 +(3m-2)2 +(4x-3m)2 .\nXII/12\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nPonieważ (2x-1)2 +(3m-2)2 +(4x-3m)2 ­ 0, więc dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej\nliczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność: 20x2 -24mx+18m2 ­ 4x+12m-5.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający doprowadzi wyrażenie do postaci (2x-1)2 +(3m-2)2 +(4x-3m)2 i na tym poprze-\nstanie lub wyciągnie błędny wniosek, np. taki, że wyrażenie jest dodatnie dla dowolnych liczb\nx i m.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nRozwiązanie (II sposób)\nInny sposób polega na potraktowaniu wyrażenia 20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 jako trój-\nmianu kwadratowego zmiennej x z parametrem m:\n20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 = 20x2 -(24m+4)x+\n18m2 -12m+5\nTrójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 oraz niedodatni wyróżnik dla każdego m:\n∆= (24m+4)2 -4·20·\n18m2 -12m+5\n= -864m2 +1152m-384 = -96(3m-2)2 .\nZatem dla każdego x (i dla każdego m) wartość tego trójmianu jest nieujemna.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający zapisze, że rozważa trójmian kwadratowy i obliczy jego wyróżnik.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający pokaże, że wyróżnik trójmianu 20x2 -(24m+4)x+\n18m2 -12m+5\njest niedodatni\nlub obliczy wyróżnik kwadratowy trójmianu -864m2 +1152m-384.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający zapisze wniosek dotyczący trójmianu 20x2 -(24m+4)x+\n18m2 -12m+5\n:\nTrójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 oraz niedodatni wyróżnik dla każdego m, zatem\ndla każdego x (i dla każdego m) wartość tego trójmianu jest nieujemna.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 11. (0-3)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest
nierówność
2
2
20
24
18
4
12
5
x
mx
m
x
m




","answer_text_html":"

Zadanie 11. (3 p.)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest
nierówność
20x2 -24mx+18m2 ­ 4x+12m-5.
Wymagania ogólne
V. Rozumowanie i argumentacja.
Wymagania szczegółowe
3.2R Uczeń rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.
Rozwiązanie (I sposób)
Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny do postaci:
20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 ­ 0.
Sposób „trikowy” polega na odpowiednim grupowaniu:
20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 = (2x-1)2 +(3m-2)2 +(4x-3m)2 .
XII/12
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Ponieważ (2x-1)2 +(3m-2)2 +(4x-3m)2 ­ 0, więc dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej
liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność: 20x2 -24mx+18m2 ­ 4x+12m-5.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający doprowadzi wyrażenie do postaci (2x-1)2 +(3m-2)2 +(4x-3m)2 i na tym poprze-
stanie lub wyciągnie błędny wniosek, np. taki, że wyrażenie jest dodatnie dla dowolnych liczb
x i m.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.
Rozwiązanie (II sposób)
Inny sposób polega na potraktowaniu wyrażenia 20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 jako trój-
mianu kwadratowego zmiennej x z parametrem m:
20x2 -24mx+18m2 -4x-12m+5 = 20x2 -(24m+4)x+
18m2 -12m+5
Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 oraz niedodatni wyróżnik dla każdego m:
∆= (24m+4)2 -4·20·
18m2 -12m+5
= -864m2 +1152m-384 = -96(3m-2)2 .
Zatem dla każdego x (i dla każdego m) wartość tego trójmianu jest nieujemna.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający zapisze, że rozważa trójmian kwadratowy i obliczy jego wyróżnik.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający pokaże, że wyróżnik trójmianu 20x2 -(24m+4)x+
18m2 -12m+5
jest niedodatni
lub obliczy wyróżnik kwadratowy trójmianu -864m2 +1152m-384.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający zapisze wniosek dotyczący trójmianu 20x2 -(24m+4)x+
18m2 -12m+5
:
Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 oraz niedodatni wyróżnik dla każdego m, zatem
dla każdego x (i dla każdego m) wartość tego trójmianu jest nieujemna.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}