Zadanie 13. (0-3)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu
2
3
y
mx
m
ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie
0,0
S
i promieniu
3
r .
Odpowiedź:
Zadanie 13. (3 p.)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y =mx+(2m+3) ma
dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0,0) i promieniu r = 3.
Wymagania ogólne
III. Modelowanie matematyczne.
Wymagania szczegółowe
8.6R Uczeń wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu.
Rozwiązanie (I sposób)
Dla żadnego parametru m prosta o równaniu y = mx+(2m+3) nie jest równoległa do osi Oy.
Wynika stąd, że jeśli taka prosta przecina okrąg, to współrzędne x obu punktów przecięcia są
różne. To znaczy, że do stwierdzenia, czy któraś z rozważanych prostych przecina okrąg w dwóch
punktach, wystarczy stwierdzić, czy równanie
x2 +(mx+(2m+3))2 = 9
z niewiadomą x i parametrem m ma dwa rozwiązania. Przekształćmy to równanie:
x2 +(mx+(2m+3))2 = 9,
x2 +m2x2 +2m(2m+3)x+(2m+3)2 -9 = 0,
m2 +1
x2 +2m(2m+3)x+4m2 +12m = 0.
Ponieważ m2+1̸=0, więc dla każdego m jest to równanie kwadratowe. Ma ono dwa rozwiązania
wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest dodatni. Obliczamy zatem ten wyróżnik:
∆= 4m2 (2m+3)2 -4
m2 +1
4m2 +12m
= 4m
m(2m+3)2 -4
m2 +1
(m+3)
= 4m
4m3 +12m2 +9m-4m3 -12m2 -4m-12
= 4m(5m-12)
Wyróżnik ∆jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy m<0 lub m> 12
5 . Zatem rozważana prosta
przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy m < 0 lub m > 12
5 .
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zapisanie równania x2 +(mx+(2m+3))2 = 9.
XII/15
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Obliczenie wyróżnika równania kwadratowego
m2 +1
x2 +2m(2m+3)x+4m2 +12m = 0
i stwierdzenie, że wyróżnik równania powinien być dodatni: ∆= 4m·(5m-12), ∆> 0.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Prosta y = mx+(2m+3) przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy
m < 0 lub m > 12
5 .
Rozwiązanie (II sposób)
Dowolna prosta będzie miała dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem, jeżeli odległość środka
okręgu od danej prostej będzie mniejsza od promienia okręgu.
Zapisujemy równanie danej prostej w postaci ogólnej: mx-y+(2m+3) = 0.
Wyznaczamy odległość punktu S = (0,0) od danej prostej: d = |2m+3|
√
m2 +1.
Odległość ma być mniejsza od promienia, zatem |2m+3|
√
m2 +1 < 3.
Rozwiązujemy nierówność równoważną |2m+3| < 3
√
m2 +1.
Obie strony nierówności są nieujemne, więc (2m+3)2 < 9
m2 +1
. Stąd -5m2 +12m < 0.
Rozwiązaniem nierówności -5m2 +12m < 0 jest m < 0 lub m > 12
5 .
Prosta y = mx+(2m+3) przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy
m < 0 lub m > 12
5 .
Uwaga
Zdający może rozwiązać nierówność |2m+3|
√
m2 +1 < 3 w dwóch przedziałach: m < -3
2 i m -3
2.
Ostatecznym rozwiązaniem będzie suma rozwiązań nierówności w każdym z przedziałów.
2 to -2m-3 < 3
√
m2 +1. Obie strony nierówności są nieujemne, wobec tego
(-2m-3)2 < 9
m2 +1
. Stąd -5m2 + 12m < 0. Dla m < -3
2 rozwiązaniem nierówności
-5m2 +12m < 0 jest m < -3
2.
2 to 2m + 3 < 3
√
m2 +1. Obie strony nierówności są nieujemne, wobec te-
go (2m+3)2 < 9
m2 +1
. Stąd -5m2 +12m < 0. Dla m -3
2 rozwiązaniem nierówności
-5m2 +12m < 0 jest -3
2 ¬ m < 0 i m > 12
5 .
XII/16
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rozwiązaniem nierówności |2m+3|
√
m2 +1 < 3 jest zatem suma rozwiązań, czyli m < 0 lub m > 12
5 .
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Wyznaczenie odległości środka okręgu od danej prostej: d = |2m+3|
√
m2 +1
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Przekształcenie nierówności wymiernej |2m+3|
√
m2 +1 <3 do nierówności kwadratowej -5m2+12m<0
Rozwiązanie pełne 3 p.
Prosta y = mx+(2m+3) przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy
m < 0 lub m > 12
5 .
$m \\in (-\\infty, 0) \\cup \\left(\\dfrac{12}{5}, +\\infty\\right)$
"}]}