{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-3)\nDana jest parabola o równaniu\n2\n1\ny\nx\n\n i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3.\nWyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A .\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (3 p.)\nDana jest parabola o równaniu y = x2 +1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3.\nWyznacz równanie stycznej do paraboli w punkcie A.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n11.3R Uczeń korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej.\nRozwiązanie (I sposób)\nStyczna do paraboli o równaniu y = f (x) w punkcie A = (x0,f (x0)) ma równanie postaci\ny = ax+b, gdzie współczynnik kierunkowy a jest równy a = f ′ (x0). W naszym przypadku\nf (x) = x2 +1 oraz x0 = 3.\nMamy zatem f ′ (x) = 2x, skąd dostajemy a = 2·3 = 6. Punkt A ma współrzędne (3,f (3)), czyli\nA = (3,10). Prosta o równaniu y = 6x+b ma przechodzić przez punkt A, a więc 10 = 6·3+b.\nZatem b = -8 i ostatecznie równanie stycznej ma postać y = 6x-8.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nWyznaczenie pochodnej funkcji f (x) = x2 +1: f ′ (x) = 2x.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nObliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: a = f ′(3) = 6.\nXII/17\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nRozwiązanie pełne 3 p.\nWyznaczenie równania stycznej do paraboli y = x2 +1 w punkcie A: y = 6x-8.\nRozwiązanie (II sposób)\nProsta nierównoległa do osi paraboli będzie styczna do tej paraboli, jeżeli ma z parabolą do-\nkładnie jeden punkt wspólny.\nObliczamy współrzędne punktu A: A = (3,10). Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej\nprzez punkt A: y = ax+10-3a.\nTa prosta nie jest równoległa do osi paraboli, więc układ równań\n\n\n\ny = x2 +1\ny = ax+10-3a\nma dokładnie jedno rozwiązanie, jeżeli równanie kwadratowe x2 +1 = ax+10-3a ma jedno\nrozwiązanie.\nPrzekształcamy równanie do postaci x2 -ax+3a-9 = 0.\nObliczamy wyróżnik równania kwadratowego: ∆= a2 -12a + 36. Zatem równanie ma jedno\nrozwiązanie, jeżeli wyróżnik jest równy zeru.\nRozwiązujemy równanie a2-12a+36=0, czyli (a-6)2=0. Jedynym rozwiązaniem tego równania\njest a = 6.\nRównanie prostej stycznej do paraboli y = x2 +1 w punkcie A ma postać y = 6x-8.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZapisanie równania x2 +1 = ax+10-3a.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nObliczenie wyróżnika równania kwadratowego x2-ax+3a-9=0 oraz wyznaczenie wartości a,\ndla której ∆= 0, czyli a = 6.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nWyznaczenie równania stycznej do paraboli y = x2 +1 w punkcie A: y = 6x-8.","solution":"$y = 6x - 8$","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 14. (0-3)
Dana jest parabola o równaniu
2
1
y
x

 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3.
Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A .
Odpowiedź:

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (3 p.)
Dana jest parabola o równaniu y = x2 +1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3.
Wyznacz równanie stycznej do paraboli w punkcie A.
Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Wymagania szczegółowe
11.3R Uczeń korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej.
Rozwiązanie (I sposób)
Styczna do paraboli o równaniu y = f (x) w punkcie A = (x0,f (x0)) ma równanie postaci
y = ax+b, gdzie współczynnik kierunkowy a jest równy a = f ′ (x0). W naszym przypadku
f (x) = x2 +1 oraz x0 = 3.
Mamy zatem f ′ (x) = 2x, skąd dostajemy a = 2·3 = 6. Punkt A ma współrzędne (3,f (3)), czyli
A = (3,10). Prosta o równaniu y = 6x+b ma przechodzić przez punkt A, a więc 10 = 6·3+b.
Zatem b = -8 i ostatecznie równanie stycznej ma postać y = 6x-8.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Wyznaczenie pochodnej funkcji f (x) = x2 +1: f ′ (x) = 2x.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: a = f ′(3) = 6.
XII/17
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rozwiązanie pełne 3 p.
Wyznaczenie równania stycznej do paraboli y = x2 +1 w punkcie A: y = 6x-8.
Rozwiązanie (II sposób)
Prosta nierównoległa do osi paraboli będzie styczna do tej paraboli, jeżeli ma z parabolą do-
kładnie jeden punkt wspólny.
Obliczamy współrzędne punktu A: A = (3,10). Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej
przez punkt A: y = ax+10-3a.
Ta prosta nie jest równoległa do osi paraboli, więc układ równań



y = x2 +1
y = ax+10-3a
ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeżeli równanie kwadratowe x2 +1 = ax+10-3a ma jedno
rozwiązanie.
Przekształcamy równanie do postaci x2 -ax+3a-9 = 0.
Obliczamy wyróżnik równania kwadratowego: ∆= a2 -12a + 36. Zatem równanie ma jedno
rozwiązanie, jeżeli wyróżnik jest równy zeru.
Rozwiązujemy równanie a2-12a+36=0, czyli (a-6)2=0. Jedynym rozwiązaniem tego równania
jest a = 6.
Równanie prostej stycznej do paraboli y = x2 +1 w punkcie A ma postać y = 6x-8.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zapisanie równania x2 +1 = ax+10-3a.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Obliczenie wyróżnika równania kwadratowego x2-ax+3a-9=0 oraz wyznaczenie wartości a,
dla której ∆= 0, czyli a = 6.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Wyznaczenie równania stycznej do paraboli y = x2 +1 w punkcie A: y = 6x-8.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y = 6x - 8$

"}]}