Zadanie 15. (0-3)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między
krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę
45
(zobacz rysunek). Oblicz objętość
tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
","answer_text_html":"Zadanie 15. (3 p.)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między kra-
wędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę α > 45◦(zobacz rysunek). Wyznacz objętość
tego ostrosłupa.
XII/18
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
a
a
α
Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Wymagania szczegółowe
9.6 Uczeń stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni
i objętości.
Rozwiązanie (I sposób) - „najpierw wysokość ściany bocznej”
a
a
α
H
h
Wysokość h ściany bocznej jest równa h= a
2tgα. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że wysokość
H ostrosłupa jest równa
H =
s
h2 -
a
2
2
= a
2 ·
q
tg2α-1
Objętość V tego ostrosłupa jest więc równa
V = a3
6 ·
q
tg2α-1.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający wyznaczy wysokość h ściany bocznej tego ostrosłupa: h= a
2tgα i na tym zakończy lub
dalej popełni błędy.
XII/19
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający wyznaczy wysokość H tego ostrosłupa: H = a
2 ·
q
tg2α-1 i na tym zakończy lub dalej
popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający wyznaczy objętość V tego ostrosłupa V = a3
6 ·
q
tg2α-1.
Uwagi:
3a2·
s a
2 ·tgα
2
a
2
2
, to otrzy-
muje 3 punkty.
cos2 α . Wtedy:
\nH =
a
2cosα ·
√
-cos2α,
V =
a3
6cosα ·
√
-cos2α.
Rozwiązanie (II sposób) - „najpierw krawędź boczna”
a
a
α
H
b
Długość b krawędzi bocznej tego ostrosłupa jest równa b =
a
2cosα. Z twierdzenia Pitagorasa
wynika, że wysokość H ostrosłupa jest równa
H =
v
u
u
tb2 -
a
√
2
2
!2
s
a2
4cos2 α -a2
2 = a·
√
1-2cos2 α
2cosα
a
2cosα ·
√
-cos2α.
Objętość V tego ostrosłupa jest więc równa
V =
a3
6cosα ·
√
-cos2α.
XII/20
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający wyznaczy długość b krawędzi bocznej tego ostrosłupa: b =
a
2cosα i na tym zakończy
lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający wyznaczy wysokość H tego ostrosłupa: H =
a
2cosα ·
√
-cos2α i na tym zakończy
lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający wyznaczy objętość V tego ostrosłupa: V =
a3
6cosα ·
√
-cos2α.
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze objętość ostrosłupa w postaci V = 1
3a2
v
u
u
t
a
2cosα
2
a
√
2
2
!2
, to otrzy-
muje 3 punkty.
Uwaga do treści zadania
W każdym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt α jest większy od 45◦. Ta dodatkowa
informacja wpisana w treści zadania ma na celu zwrócenie zdającym uwagi na to, że nie będzie
sprawdzane badanie warunku rozwiązywalności zadania w zależności od miary kąta α. Uza-
sadnienie geometryczne tego warunku wymagałoby odrębnego rozumowania. Najprostsze takie
rozumowanie wygląda następująco:
| <) ABE|+| <) CBE| > | <) ABC|,
czyli 2α > 90◦, a więc α > 45◦.
A
B
C
D
S
a
a
α
α
To rozumowanie wykracza poza obecną podstawę programową, gdyż nie ma w niej twierdzenia
o tym, że suma dwóćh kątów płaskich trójścianu jest większa od trzeciego kąta płaskiego.
$V = \\dfrac{a^3}{6} \\sqrt{\\operatorname{tg}^2\\alpha - 1}$ lub $V = \\dfrac{a^3}{6\\cos\\alpha} \\sqrt{-\\cos 2\\alpha}$
"}]}