Zadanie 16. (0-6)
Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą
równości
2
MB
AM
oraz
3
LC
AL
. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL
i CM. Punkt K jest punktem przecięcia półprostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).
Pole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS.
A
B
C
M
L
K
S
Odpowiedź:
","answer_text_html":"Zadanie 16. (6 p.)
Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą
równości |MB| = 2·|AM| oraz |LC| = 3·|AL|. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL
i CM. Punkt K jest punktem przecięcia prostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).
XII/21
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
A
B
C
K
L
M
S
Pole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS.
Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Wymagania szczegółowe
7.5R Uczeń znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów
i twierdzenia cosinusów.
Rozwiązanie (I sposób)
Oznaczmy literami x i y pola trójkątów AMS i ALS, czyli PAMS = x i PALS = y.
A
B
C
K
L
M
S
x
2x
y
3y
Trójkąty AMC i BMC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka C, więc
PAMC
PBMC
= |AM|
|BM| = 1
2,
czyli
PBMC = 2·PAMC.
Stąd
PAMC = 1
3 ·PABC = 1
3 ·660 = 220.
Podobnie
PAMS
PBMS
= |AM|
|BM| = 1
2,
czyli
PBMS = 2·PAMS = 2x.
Trójkąty ALB i CLB mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B, więc
PALB
PCLB
= |AL|
|CL| = 1
3,
czyli
PCLB = 3·PALB.
XII/22
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Stąd
PALB = 1
4 ·PABC = 1
4 ·660 = 165.
Podobnie
PALS
PCLS
= |AL|
|CL| = 1
3,
czyli
PCLS = 3·PALS = 3y.
Otrzymaliśmy więc
PAMC = PAMS +PALS +PCLS = x+y+3y = x+4y,
czyli
x+4y = 220.
Analogicznie
PALB = PAMS +PALS +PBMS = x+y+2x = 3x+y,
czyli
3x+y = 165.
Pozostaje rozwiązać układ równań
x+4y = 220
3x+y = 165.
Rozwiązaniem tego układu jest x = 40 i y = 45.
Zatem
PAMS = x = 40,
PALS = y = 45,
PBMS = 2x = 80,
PCLS = 3y = 135.
Uwaga
Możemy równie łatwo obliczyć pola pozostałych dwóch trójkątów, tj. CKS i BKS.
A
B
C
K
L
M
S
x
2x
y
3y
w
z
Oznaczając pola tych trójkątów odpowiednio przez w i z oraz zauważając, podobnie jak po-
przednio, że
PBKA
PCKA
= PBKS
PCKS
,
czyli
3x+z
4y+w = z
w,
a więc
120+z
180+2 = z
w,
XII/23
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
otrzymujemy
120w+zw = 180z +zw,
2w = 3z.
Wystarczy teraz zauważyć, że PBCS = 660-3x-4y = 660-120-180 = 360, czyli w+z = 360.
Stąd w = 360-z, więc 2(360-z) = 3z, czyli z = 144 i w = 216.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający stwierdzi lub wykorzysta fakt, że stosunek pól dwóch trójkątów o wspólnej wysokości
jest równy stosunkowi długości podstaw, na jakie ta wysokość została opuszczona i zapisze, np.:
PMBC = 2·PAMC.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• obliczy pole jednego z trójkątów: AMC, BMC, ALB, CLB
albo
• wyznaczy pole trójkąta BMS w zależności od pola trójkąta AMS: PBMS = 2x
albo
• wyznaczy pole trójkąta CLS w zależności od pola trójkąta ALS: PCLS = 3y.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.
Zdający zapisze układ równań pozwalający obliczyć pola trójkątóW AMS i ALS, np. x+4y=220
i 3x+y = 165.
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze tylko jedno równanie z dwiema niewiadomymi, np. x+4y =220, to otrzy-
muje 3 punkty.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 p.
Zdający
• obliczy pole jednego z trójkątów AMS lub ALS: x = 40, y = 45
albo
• obliczy pola wszystkich trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS popełniając błędy rachunkowe.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający obliczy pola trójkątów AMS, ALS, BMS i CLS: PAMS = 40, PBMS = 80, PALS = 45,
PCLS = 135.
XII/24
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
$P_{AMS} = 40$, $P_{ALS} = 45$, $P_{BMS} = 80$, $P_{CLS} = 135$
"}]}