{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"17","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (0-6)\nOblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (6 p.)\nOblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nWymagania szczegółowe\n10.1R Uczeń wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtó-\nrzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.\nRozwiązanie\nWszystkie liczby stucyfrowe o sumie cyfr równej 4 możemy podzielić na 7 grup w zależności od\ntego, jakie cyfry występują w zapisie dziesiętnym tych liczb:\nI\nLiczba 4000 000, w której po cyfrze 4 następuje 99 zer: jest 1 taka liczba,\nII\nLiczby postaci 3000 1 000, w których po cyfrze 3 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 1,\nstojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb,\nIII\nLiczby postaci 2000 2 000, w których po cyfrze 2 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 2,\nstojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb,\nIV\nLiczby postaci 1000 3 000, w których po cyfrze 1 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 3,\nstojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb,\nV\nLiczby postaci 2000 1 000 1 000, w których po cyfrze 2 występuje 97 cyfr 0 i dwie\ncyfry 1, stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc: jest\n\n99\n2\n\n= 99·98\n2\n= 99·49 = 4851\ntakich liczb,\nVI\nLiczby postaci 1000 2 000 1 000 lub 1000 1 000 2 000, w których po cyfrze 1 wy-\nstępuje 97 cyfr 0 oraz cyfry 1 i 2 (w dowolnej kolejności), stojące na dwóch miejscach\nwybranych z 99 możliwych miejsc: jest\n2·\n\n99\n2\n\n= 2· 99·98\n2\n= 99·98 = 9702\ntakich liczb,\nVII Liczby postaci 1000 1 000 1 000 1 000, w których po cyfrze 1 występuje 96 cyfr 0\ni trzy cyfry 1, stojące na trzech miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc: jest\n\n99\n3\n\n= 99·98·97\n6\n= 33·49·97 = 156849\ntakich liczb.\nŁącznie zatem mamy 1+3·99+4851+9702+156849 = 171700 takich liczb.\nSchemat oceniania\nW rozwiązaniu można wyróżnić 3 etapy:\nXII/25\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nPierwszy - wstępny:\nzauważenie, że należy rozpatrzyć przypadki i zapisanie, że jest jedna stucyfrowa liczba, której\npierwszą cyfrą jest 4 a po niej następuje 99 zer (grupa I).\nDrugi - składający się z rozważenia czterech przypadków:\n1. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci 3000 1 000, w których po cyfrze 3 występuje\n98 cyfr 0 i jedna cyfra 1 oraz ile jest stucyfrowych liczb postaci 2000 2 000, w których\npo cyfrze 2 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 2 oraz ile jest stucyfrowych liczb postaci\n1000 3 000, w których po cyfrze 1 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 3 (grupy II, III i IV),\n2. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci 2000 1 000 1 000, w których po cyfrze 2\nwystępuje 97 cyfr 0 i dwie cyfry 1 stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych\nmiejsc (grupa V),\n3. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci\n1000 2 000 1 000\noraz\n1000 1 000 2 000,\nw których po cyfrze 1 występuje 97 cyfr 0 oraz cyfry 1 i 2 (w dowolnej kolejności), stojące\nna dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc (grupa VI),\n4. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci 1000 1 000 1 000 1 000, w których po\ncyfrze 1 występuje 96 cyfr 0 i trzy cyfry 1, stojące na trzech miejscach wybranych z 99\nmożliwych miejsc (grupa VII).\nTrzeci - obliczenia końcowe:\nobliczenie, ile jest wszystkich stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nRealizacja pierwszego etapu rozwiązania - zapisanie, że jest jedna stucyfrowa liczba, której\npierwszą cyfrą jest 4 a po niej następuje 99 zer.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 5 p.\nRealizacja drugiego etapu rozwiązania - zdający otrzymuje po jednym punkcie za obliczenie\nile jest stucyfrowych liczb w każdym z wymienionych przypadków, odpowiednio:\n1. 3·99 = 297,\n2.\n99\n2\n!\n= 99·98\n2\n= 99·49 = 4851,\n3. 2\n99\n2\n!\n= 2· 99·98\n2\n= 99·98 = 9702,\n4.\n99\n3\n!\n= 99·98·97\n6\n= 33·49·97 = 156849.\nW tej części rozwiązania zdający może otrzymać od 0 punktów do 4 punktów.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nObliczenie, ile jest wszystkich stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4: jest 171700\ntakich liczb.\nXII/26\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nUwaga\nZadanie można rozwiązać powołując się na nietrudne do udowodnienia twierdzenie, że dla\nk ¬9 istnieje\nn+k-2\nk-1\n!\nliczb n-cyfrowych o sumie cyfr równej k. (Istnieje\nn+k-2\nk-1\n!\nciągów\n(a1, ,an) takich, że a1, ,an są liczbami całkowitymi, a1̸=0, a2, ,an­0 oraz a1+ +an=k).\nW naszym przypadku mamy n = 100 i k = 4:\n\nn+k-2\nk-1\n\n=\n\n102\n3\n\n= 102·101·100\n6\n= 17·101·100 = 171700.","solution":"171700","image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 17. (0-6)
Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.
Odpowiedź:

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (6 p.)
Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.
Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Wymagania szczegółowe
10.1R Uczeń wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtó-
rzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
Rozwiązanie
Wszystkie liczby stucyfrowe o sumie cyfr równej 4 możemy podzielić na 7 grup w zależności od
tego, jakie cyfry występują w zapisie dziesiętnym tych liczb:
I
Liczba 4000 000, w której po cyfrze 4 następuje 99 zer: jest 1 taka liczba,
II
Liczby postaci 3000 1 000, w których po cyfrze 3 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 1,
stojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb,
III
Liczby postaci 2000 2 000, w których po cyfrze 2 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 2,
stojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb,
IV
Liczby postaci 1000 3 000, w których po cyfrze 1 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 3,
stojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb,
V
Liczby postaci 2000 1 000 1 000, w których po cyfrze 2 występuje 97 cyfr 0 i dwie
cyfry 1, stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc: jest

99
2

= 99·98
2
= 99·49 = 4851
takich liczb,
VI
Liczby postaci 1000 2 000 1 000 lub 1000 1 000 2 000, w których po cyfrze 1 wy-
stępuje 97 cyfr 0 oraz cyfry 1 i 2 (w dowolnej kolejności), stojące na dwóch miejscach
wybranych z 99 możliwych miejsc: jest
2·

99
2

= 2· 99·98
2
= 99·98 = 9702
takich liczb,
VII Liczby postaci 1000 1 000 1 000 1 000, w których po cyfrze 1 występuje 96 cyfr 0
i trzy cyfry 1, stojące na trzech miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc: jest

99
3

= 99·98·97
6
= 33·49·97 = 156849
takich liczb.
Łącznie zatem mamy 1+3·99+4851+9702+156849 = 171700 takich liczb.
Schemat oceniania
W rozwiązaniu można wyróżnić 3 etapy:
XII/25
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pierwszy - wstępny:
zauważenie, że należy rozpatrzyć przypadki i zapisanie, że jest jedna stucyfrowa liczba, której
pierwszą cyfrą jest 4 a po niej następuje 99 zer (grupa I).
Drugi - składający się z rozważenia czterech przypadków:

\n
  1. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci 3000 1 000, w których po cyfrze 3 występuje
\n

98 cyfr 0 i jedna cyfra 1 oraz ile jest stucyfrowych liczb postaci 2000 2 000, w których
po cyfrze 2 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 2 oraz ile jest stucyfrowych liczb postaci
1000 3 000, w których po cyfrze 1 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 3 (grupy II, III i IV),

\n
  1. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci 2000 1 000 1 000, w których po cyfrze 2
\n

występuje 97 cyfr 0 i dwie cyfry 1 stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych
miejsc (grupa V),

\n
  1. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci
\n

1000 2 000 1 000
oraz
1000 1 000 2 000,
w których po cyfrze 1 występuje 97 cyfr 0 oraz cyfry 1 i 2 (w dowolnej kolejności), stojące
na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc (grupa VI),

\n
  1. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci 1000 1 000 1 000 1 000, w których po
\n

cyfrze 1 występuje 96 cyfr 0 i trzy cyfry 1, stojące na trzech miejscach wybranych z 99
możliwych miejsc (grupa VII).
Trzeci - obliczenia końcowe:
obliczenie, ile jest wszystkich stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Realizacja pierwszego etapu rozwiązania - zapisanie, że jest jedna stucyfrowa liczba, której
pierwszą cyfrą jest 4 a po niej następuje 99 zer.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 5 p.
Realizacja drugiego etapu rozwiązania - zdający otrzymuje po jednym punkcie za obliczenie
ile jest stucyfrowych liczb w każdym z wymienionych przypadków, odpowiednio:

\n
  1. 3·99 = 297,
\n

2.
99
2
!
= 99·98
2
= 99·49 = 4851,

\n
  1. 2
\n

99
2
!
= 2· 99·98
2
= 99·98 = 9702,
4.
99
3
!
= 99·98·97
6
= 33·49·97 = 156849.
W tej części rozwiązania zdający może otrzymać od 0 punktów do 4 punktów.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Obliczenie, ile jest wszystkich stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4: jest 171700
takich liczb.
XII/26
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Uwaga
Zadanie można rozwiązać powołując się na nietrudne do udowodnienia twierdzenie, że dla
k ¬9 istnieje
n+k-2
k-1
!
liczb n-cyfrowych o sumie cyfr równej k. (Istnieje
n+k-2
k-1
!
ciągów
(a1, ,an) takich, że a1, ,an są liczbami całkowitymi, a1̸=0, a2, ,an­0 oraz a1+ +an=k).
W naszym przypadku mamy n = 100 i k = 4:

n+k-2
k-1

=

102
3

= 102·101·100
6
= 17·101·100 = 171700.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

171700

"}]}