{"id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDla każdego  suma sin\nsin3\n\n\n\njest równa\nA. sin 4.\nB. 2sin 4.\nC. 2sin 2 cos\n\n.\nD. 2sin\ncos2\n\n.\n\nBRUDNOPIS\n\nZADANIA OTWARTE\nW zadaniach 6-9 zakoduj wynik w kratkach zamieszczonych obok polecenia. W zadaniach\n10-18 rozwiązania należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (1 p.)\nSuma sinα+sin3α jest dla każdego α równa\nA. sin4α.\nB. 2sin4α.\nC. 2sin2αcosα.\nD. 2sinαcos2α.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\nWymagania szczegółowe\n6.5R Uczeń stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów.\nRozwiązanie (I sposób)\nKorzystamy ze wzoru sinα+sinβ = 2sin α+β\n2\ncos α-β\n2\nMamy zatem\nsinα+sin3α = sin3α+sinα = 2sin 3α+α\n2\ncos 3α-α\n2\n= 2sin2α·cosα.\nOdp.: C.\nRozwiązanie (II sposób)\nKorzystamy ze wzorów\nsin(α+β) = sinαcosβ +cosαsinβ\noraz\ncos2α = 2cos2 α-1.\nMamy zatem\nsin3α = sin(α+2α) = sinαcos2α+cosαsin2α = sinαcos2α+2sinαcos2 α =\n= sinα(4cos2 α-1).\nXII/5\nProjekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego\nA stąd otrzymujemy:\nsinα+sin3α = sinα+sinα(4cos2 α-1) = sinα(1+4cos2 α-1) =\n= 4sinαcos2 α = 2(2sinαcosα)cosα = 2sin2αcosα.\nOdp.: C.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Dla każdego  suma sin<br>sin3<br><br><br><br>jest równa<br>A. sin 4.<br>B. 2sin 4.<br>C. 2sin 2 cos<br><br>.<br>D. 2sin<br>cos2<br><br>.</p>\n<p>BRUDNOPIS</p>\n<p>ZADANIA OTWARTE<br>W zadaniach 6-9 zakoduj wynik w kratkach zamieszczonych obok polecenia. W zadaniach<br>10-18 rozwiązania należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (1 p.)<br>Suma sinα+sin3α jest dla każdego α równa<br>A. sin4α.<br>B. 2sin4α.<br>C. 2sin2αcosα.<br>D. 2sinαcos2α.<br>Wymagania ogólne<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>Wymagania szczegółowe<br>6.5R Uczeń stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów<br>i cosinusów.<br>Rozwiązanie (I sposób)<br>Korzystamy ze wzoru sinα+sinβ = 2sin α+β<br>2<br>cos α-β<br>2<br>Mamy zatem<br>sinα+sin3α = sin3α+sinα = 2sin 3α+α<br>2<br>cos 3α-α<br>2<br>= 2sin2α·cosα.<br>Odp.: C.<br>Rozwiązanie (II sposób)<br>Korzystamy ze wzorów<br>sin(α+β) = sinαcosβ +cosαsinβ<br>oraz<br>cos2α = 2cos2 α-1.<br>Mamy zatem<br>sin3α = sin(α+2α) = sinαcos2α+cosαsin2α = sinαcos2α+2sinαcos2 α =<br>= sinα(4cos2 α-1).<br>XII/5<br>Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego<br>A stąd otrzymujemy:<br>sinα+sin3α = sinα+sinα(4cos2 α-1) = sinα(1+4cos2 α-1) =<br>= 4sinαcos2 α = 2(2sinαcosα)cosα = 2sin2αcosα.<br>Odp.: C.</p>","solutions":[]}