{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nNiech\n2\n3\na =\n,\n1\n2\nb =\n. Wtedy wartość wyrażenia a\nb\na b\n⋅\njest równa\nA. 7\n2\nB.\n9\n5\nC.\n7\n18\nD. 3\n2","answer":"A","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{7}{2}\\)\n\n*(Odpowiedzi A i B w treści zadania są uszkodzone - najprawdopodobniej błąd ekstrakcji PDF. Wyznaczam wynik samodzielnie.)*\n\n## Sposób 1 - Podstawienie i obliczenie wprost\n\nMamy \\(a = \\frac{2}{3}\\), \\(b = \\frac{1}{2}\\). Liczymy licznik i mianownik oddzielnie.\n\n**Licznik:**\n\\[a + b = \\frac{2}{3} + \\frac{1}{2} = \\frac{4}{6} + \\frac{3}{6} = \\frac{7}{6}\\]\n\n**Mianownik:**\n\\[a \\cdot b = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Dzielenie:**\n\\[\\frac{a+b}{a \\cdot b} = \\frac{\\dfrac{7}{6}}{\\dfrac{1}{3}} = \\frac{7}{6} \\cdot \\frac{3}{1} = \\frac{7 \\cdot 3}{6} = \\frac{21}{6} = \\boxed{\\frac{7}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie algebraiczne (tożsamość)\n\nZauważamy, że ułamek \\(\\frac{a+b}{a \\cdot b}\\) można rozłożyć na dwa składniki, dzieląc licznik przez mianownik wyraz po wyrazie:\n\n\\[\\frac{a + b}{a \\cdot b} = \\frac{a}{a \\cdot b} + \\frac{b}{a \\cdot b} = \\frac{1}{b} + \\frac{1}{a}\\]\n\nTeraz podstawiamy:\n\\[\\frac{1}{b} + \\frac{1}{a} = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} + \\frac{1}{\\frac{2}{3}} = 2 + \\frac{3}{2} = \\frac{4}{2} + \\frac{3}{2} = \\frac{7}{2}\\]\n\n**To podejście jest szybsze** - omijamy obliczanie iloczynu \\(a \\cdot b\\) osobno.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania na ułamkach (sprowadzanie do wspólnego mianownika, dzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: \\(\\frac{7/6}{1/3} = \\frac{7}{6} \\cdot 3\\), nie \\(\\frac{7}{6} \\cdot \\frac{1}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu \\(\\frac{2}{3} + \\frac{1}{2}\\) pamiętaj o wspólnym mianowniku - najczęstszy błąd to dodawanie liczników i mianowników osobno, co daje błędne \\(\\frac{3}{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tożsamość \\(\\frac{a+b}{ab} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}\\) jest bardzo przydatna - warto ją zapamiętać jako sprytny skrót w tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\nPodstawiamy \\(a = \\frac{2}{3}\\) i \\(b = 2\\):\n\nLicznik: \\(a - b = \\frac{2}{3} - 2 = \\frac{2 - 6}{3} = -\\frac{4}{3}\\)\n\nMianownik: \\(a + b = \\frac{2}{3} + 2 = \\frac{2 + 6}{3} = \\frac{8}{3}\\)\n\nWartość wyrażenia:\n\\[\\frac{a-b}{a+b} = \\frac{-\\frac{4}{3}}{\\frac{8}{3}} = -\\frac{4}{3} \\cdot \\frac{3}{8} = -\\frac{4}{8} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Wzory CKE**: Działania na ułamkach zwykłych (arytmetyka).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- B. \\(1\\) - wynikałoby to z \\(a - b = a + b\\), co jest niemożliwe dla \\(b \\neq 0\\).\n- C i D - wyniki o wiele za duże co do wartości bezwzględnej; wynikają z błędów rachunkowych.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 1. (1 pkt)
Niech
2
3
a =
,
1
2
b =
. Wtedy wartość wyrażenia a
b
a b
⋅
jest równa
A. 7
2
B.
9
5
C.
7
18
D. 3
2

","answer_text_html":"

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{7}{2}\\)

\n

(Odpowiedzi A i B w treści zadania są uszkodzone - najprawdopodobniej błąd ekstrakcji PDF. Wyznaczam wynik samodzielnie.)

\n

Sposób 1 - Podstawienie i obliczenie wprost

\n

Mamy \\(a = \\frac{2}{3}\\), \\(b = \\frac{1}{2}\\). Liczymy licznik i mianownik oddzielnie.

\n

Licznik:
\\[a + b = \\frac{2}{3} + \\frac{1}{2} = \\frac{4}{6} + \\frac{3}{6} = \\frac{7}{6}\\]

\n

Mianownik:
\\[a \\cdot b = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Dzielenie:
\\[\\frac{a+b}{a \\cdot b} = \\frac{\\dfrac{7}{6}}{\\dfrac{1}{3}} = \\frac{7}{6} \\cdot \\frac{3}{1} = \\frac{7 \\cdot 3}{6} = \\frac{21}{6} = \\boxed{\\frac{7}{2}}\\]

\n

Sposób 2 - Przekształcenie algebraiczne (tożsamość)

\n

Zauważamy, że ułamek \\(\\frac{a+b}{a \\cdot b}\\) można rozłożyć na dwa składniki, dzieląc licznik przez mianownik wyraz po wyrazie:

\n

\\[\\frac{a + b}{a \\cdot b} = \\frac{a}{a \\cdot b} + \\frac{b}{a \\cdot b} = \\frac{1}{b} + \\frac{1}{a}\\]

\n

Teraz podstawiamy:
\\[\\frac{1}{b} + \\frac{1}{a} = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} + \\frac{1}{\\frac{2}{3}} = 2 + \\frac{3}{2} = \\frac{4}{2} + \\frac{3}{2} = \\frac{7}{2}\\]

\n

To podejście jest szybsze - omijamy obliczanie iloczynu \\(a \\cdot b\\) osobno.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania na ułamkach (sprowadzanie do wspólnego mianownika, dzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: \\(\\frac{7/6}{1/3} = \\frac{7}{6} \\cdot 3\\), nie \\(\\frac{7}{6} \\cdot \\frac{1}{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy dodawaniu \\(\\frac{2}{3} + \\frac{1}{2}\\) pamiętaj o wspólnym mianowniku - najczęstszy błąd to dodawanie liczników i mianowników osobno, co daje błędne \\(\\frac{3}{5}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Tożsamość \\(\\frac{a+b}{ab} = \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}\\) jest bardzo przydatna - warto ją zapamiętać jako sprytny skrót w tego typu zadaniach.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n

Podstawiamy \\(a = \\frac{2}{3}\\) i \\(b = 2\\):

\n

Licznik: \\(a - b = \\frac{2}{3} - 2 = \\frac{2 - 6}{3} = -\\frac{4}{3}\\)

\n

Mianownik: \\(a + b = \\frac{2}{3} + 2 = \\frac{2 + 6}{3} = \\frac{8}{3}\\)

\n

Wartość wyrażenia:
\\[\\frac{a-b}{a+b} = \\frac{-\\frac{4}{3}}{\\frac{8}{3}} = -\\frac{4}{3} \\cdot \\frac{3}{8} = -\\frac{4}{8} = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Wzory CKE: Działania na ułamkach zwykłych (arytmetyka).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n"}]}