{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.\nWskaż wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy\nukładu współrzędnych.\nA.\n(\n)\n4\ny\nf x\nB.\n( )\n4\ny\nf x\nC.\n(\n)\n4\ny\nf x\nD.\n( )\n4\ny\nf x","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n**y = f(x + 4)**\n\n## Sposób 1 - Definicja symetrii względem osi Oy\n\n**Kluczowy fakt:** Wykres funkcji symetryczny do wykresu \\(f\\) względem osi \\(Oy\\) to wykres funkcji \\(y = f(-x)\\).\n\nDlaczego? Bo symetria względem \\(Oy\\) oznacza \"odbicie\" każdego punktu \\((x, y)\\) na punkt \\((-x, y)\\). Formalnie: jeśli punkt \\((a, b)\\) leży na wykresie \\(f\\), to punkt \\((-a, b)\\) leży na wykresie odbicia - a warunek \\(b = f(-(-a)) = f(a)\\) jest spełniony.\n\n**Teraz kluczowe pytanie:** Które z odpowiedzi A-D jest równoważne \\(f(-x)\\) dla podanego wykresu?\n\nZ wykresu odczytujemy, że **charakterystyczny punkt** (np. wierzchołek lub punkt wyróżniony) funkcji \\(f\\) leży w \\(x = 2\\).\n\nPo odbiciu względem \\(Oy\\) ten punkt \"przechodzi\" na \\(x = -2\\).\n\n**Zatem szukamy przekształcenia, które przesuwa wykres \\(f\\) z \\(x = 2\\) do \\(x = -2\\):**\n\n\\[2 \\to -2 \\quad \\text{(przesunięcie o 4 w lewo)}\\]\n\nPrzesunięcie wykresu o 4 jednostki **w lewo** to:\n\\[y = f(x + 4)\\]\n\n**Sprawdzenie:** Jeśli wierzchołek \\(f\\) jest w \\(x_0 = 2\\), to \\(f(x+4)\\) ma wierzchołek gdy \\(x + 4 = 2\\), czyli gdy \\(x = -2\\). ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez konkretny punkt\n\nPrzyjmijmy, że z wykresu odczytujemy np. punkt \\((2,\\, 0)\\) na wykresie \\(f\\) (miejsce zerowe lub wierzchołek w \\(x = 2\\)).\n\nPo symetrii względem \\(Oy\\) ten punkt powinien stać się \\((-2,\\, 0)\\) - punkt na nowym wykresie.\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź dla \\(x = -2\\):\n\n| Odpowiedź | Wzór w \\(x = -2\\) | Wynik | Czy daje \\(f(2) = 0\\)? |\n| A: \\(f(x-4)\\) | \\(f(-2-4) = f(-6)\\) | wartość \\(f\\) w \\(-6\\) | ✗ |\n| B: \\(f(x)-4\\) | \\(f(-2) - 4\\) | przesunięcie pionowe | ✗ |\n| **C: \\(f(x+4)\\)** | \\(f(-2+4) = f(2)\\) | **to samo co \\(f(2) = 0\\)** | **✓** |\n| D: \\(f(x)+4\\) | \\(f(-2) + 4\\) | przesunięcie pionowe | ✗ |\n\nTylko \\(y = f(x+4)\\) w punkcie \\(x = -2\\) daje dokładnie \\(f(2)\\) - zgodnie z symetrią. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Korzystamy z **definicji symetrii osiowej** i przekształceń wykresu funkcji - to wiedza z zakresu funkcji (dział 7, s. 7-9 karty dotyczy funkcji kwadratowej, ale reguły przekształceń są ogólne):\n\n> **Przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(a\\) w lewo:** \\(y = f(x + a)\\)\n> **Przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(a\\) w prawo:** \\(y = f(x - a)\\)\n> **Symetria względem \\(Oy\\):** \\(y = f(-x)\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Przekształcenie | Błąd |\n| A | \\(f(x-4)\\) - przesunięcie **w prawo** o 4 | Właśnie odwrotnie niż trzeba - zamiast odbicia, oddala wykres od \\(Oy\\) w złą stronę |\n| B | \\(f(x) - 4\\) - przesunięcie **w dół** o 4 | To przekształcenie pionowe (oś \\(Oy\\) rządzi poziomem, nie pionem) |\n| D | \\(f(x) + 4\\) - przesunięcie **w górę** o 4 | Analogicznie - zmienia wartości funkcji, nie argument |\n\n**Typowy błąd:** mylenie przesunięcia poziomego z pionowym - B i D kuszą, bo \"4\" jest widoczne na wykresie, ale tam chodzi o przesunięcie w poziomie, nie w pionie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem \\(Oy\\) to \\(f(-x)\\), a nie \\(-f(x)\\)! \\(-f(x)\\) to symetria względem osi \\(Ox\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(f(x+4)\\) przesuwa wykres **w lewo** (nie w prawo!). Wiele osób intuicyjnie myśli odwrotnie - \"+4 w argumencie = w prawo\", co jest błędem. Pamiętaj: jeśli \\(x+4=0\\), to \\(x=-4\\), więc punkt zerowy przesuwa się do \\(-4\\), czyli w lewo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj jeden konkretny punkt z wykresu - to najszybszy sposób weryfikacji w zadaniach z wykresem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(2 - 4\\sqrt{2}\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\n\\[f(x) = \\frac{2x - 8}{x}\\]\n\nPodstawiamy \\(x = \\sqrt{2}\\):\n\\[f(\\sqrt{2}) = \\frac{2\\sqrt{2} - 8}{\\sqrt{2}}\\]\n\nDzielimy każdy składnik licznika:\n\\[= \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} - \\frac{8}{\\sqrt{2}} = 2 - \\frac{8}{\\sqrt{2}}\\]\n\nUsuwamy niewymierność z mianownika:\n\\[\\frac{8}{\\sqrt{2}} = \\frac{8\\sqrt{2}}{2} = 4\\sqrt{2}\\]\n\nOstatecznie:\n\\[f(\\sqrt{2}) = 2 - 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Wzory CKE**: Potęgi i pierwiastki (s. 4-5), usuwanie niewymierności.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- B. \\(1 - 2\\sqrt{2}\\) - błąd w dzieleniu przez \\(\\sqrt{2}\\).\n- C. \\(1 + 2\\sqrt{2}\\) - błędny znak.\n- D. \\(2 + 4\\sqrt{2}\\) - błędny znak przy \\(4\\sqrt{2}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 10. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Wskaż wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy
układu współrzędnych.
A.
(
)
4
y
f x
B.
( )
4
y
f x
C.
(
)
4
y
f x
D.
( )
4
y
f x

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

y = f(x + 4)

\n

Sposób 1 - Definicja symetrii względem osi Oy

\n

Kluczowy fakt: Wykres funkcji symetryczny do wykresu \\(f\\) względem osi \\(Oy\\) to wykres funkcji \\(y = f(-x)\\).

\n

Dlaczego? Bo symetria względem \\(Oy\\) oznacza "odbicie" każdego punktu \\((x, y)\\) na punkt \\((-x, y)\\). Formalnie: jeśli punkt \\((a, b)\\) leży na wykresie \\(f\\), to punkt \\((-a, b)\\) leży na wykresie odbicia - a warunek \\(b = f(-(-a)) = f(a)\\) jest spełniony.

\n

Teraz kluczowe pytanie: Które z odpowiedzi A-D jest równoważne \\(f(-x)\\) dla podanego wykresu?

\n

Z wykresu odczytujemy, że charakterystyczny punkt (np. wierzchołek lub punkt wyróżniony) funkcji \\(f\\) leży w \\(x = 2\\).

\n

Po odbiciu względem \\(Oy\\) ten punkt "przechodzi" na \\(x = -2\\).

\n

Zatem szukamy przekształcenia, które przesuwa wykres \\(f\\) z \\(x = 2\\) do \\(x = -2\\):

\n

\\[2 \\to -2 \\quad \\text{(przesunięcie o 4 w lewo)}\\]

\n

Przesunięcie wykresu o 4 jednostki w lewo to:
\\[y = f(x + 4)\\]

\n

Sprawdzenie: Jeśli wierzchołek \\(f\\) jest w \\(x_0 = 2\\), to \\(f(x+4)\\) ma wierzchołek gdy \\(x + 4 = 2\\), czyli gdy \\(x = -2\\). ✓

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez konkretny punkt

\n

Przyjmijmy, że z wykresu odczytujemy np. punkt \\((2,\\, 0)\\) na wykresie \\(f\\) (miejsce zerowe lub wierzchołek w \\(x = 2\\)).

\n

Po symetrii względem \\(Oy\\) ten punkt powinien stać się \\((-2,\\, 0)\\) - punkt na nowym wykresie.

\n

Sprawdzamy każdą odpowiedź dla \\(x = -2\\):

\n

| Odpowiedź | Wzór w \\(x = -2\\) | Wynik | Czy daje \\(f(2) = 0\\)? |
| A: \\(f(x-4)\\) | \\(f(-2-4) = f(-6)\\) | wartość \\(f\\) w \\(-6\\) | ✗ |
| B: \\(f(x)-4\\) | \\(f(-2) - 4\\) | przesunięcie pionowe | ✗ |
| C: \\(f(x+4)\\) | \\(f(-2+4) = f(2)\\) | to samo co \\(f(2) = 0\\) | ✓ |
| D: \\(f(x)+4\\) | \\(f(-2) + 4\\) | przesunięcie pionowe | ✗ |

\n

Tylko \\(y = f(x+4)\\) w punkcie \\(x = -2\\) daje dokładnie \\(f(2)\\) - zgodnie z symetrią. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Korzystamy z definicji symetrii osiowej i przekształceń wykresu funkcji - to wiedza z zakresu funkcji (dział 7, s. 7-9 karty dotyczy funkcji kwadratowej, ale reguły przekształceń są ogólne):

\n
Przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(a\\) w lewo: \\(y = f(x + a)\\)
Przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(a\\) w prawo: \\(y = f(x - a)\\)
Symetria względem \\(Oy\\): \\(y = f(-x)\\)
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Przekształcenie | Błąd |
| A | \\(f(x-4)\\) - przesunięcie w prawo o 4 | Właśnie odwrotnie niż trzeba - zamiast odbicia, oddala wykres od \\(Oy\\) w złą stronę |
| B | \\(f(x) - 4\\) - przesunięcie w dół o 4 | To przekształcenie pionowe (oś \\(Oy\\) rządzi poziomem, nie pionem) |
| D | \\(f(x) + 4\\) - przesunięcie w górę o 4 | Analogicznie - zmienia wartości funkcji, nie argument |

\n

Typowy błąd: mylenie przesunięcia poziomego z pionowym - B i D kuszą, bo "4" jest widoczne na wykresie, ale tam chodzi o przesunięcie w poziomie, nie w pionie.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Symetria względem \\(Oy\\) to \\(f(-x)\\), a nie \\(-f(x)\\)! \\(-f(x)\\) to symetria względem osi \\(Ox\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(f(x+4)\\) przesuwa wykres w lewo (nie w prawo!). Wiele osób intuicyjnie myśli odwrotnie - "+4 w argumencie = w prawo", co jest błędem. Pamiętaj: jeśli \\(x+4=0\\), to \\(x=-4\\), więc punkt zerowy przesuwa się do \\(-4\\), czyli w lewo.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj jeden konkretny punkt z wykresu - to najszybszy sposób weryfikacji w zadaniach z wykresem.
\n

Poprawna odpowiedź: A - \\(2 - 4\\sqrt{2}\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

\\[f(x) = \\frac{2x - 8}{x}\\]

\n

Podstawiamy \\(x = \\sqrt{2}\\):
\\[f(\\sqrt{2}) = \\frac{2\\sqrt{2} - 8}{\\sqrt{2}}\\]

\n

Dzielimy każdy składnik licznika:
\\[= \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} - \\frac{8}{\\sqrt{2}} = 2 - \\frac{8}{\\sqrt{2}}\\]

\n

Usuwamy niewymierność z mianownika:
\\[\\frac{8}{\\sqrt{2}} = \\frac{8\\sqrt{2}}{2} = 4\\sqrt{2}\\]

\n

Ostatecznie:
\\[f(\\sqrt{2}) = 2 - 4\\sqrt{2}\\]

\n

Wzory CKE: Potęgi i pierwiastki (s. 4-5), usuwanie niewymierności.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n"}]}