{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nOsią symetrii wykresu funkcji kwadratowej\n6\n8\n2\n)\n(\n2\nx\nx\nx\nf\njest prosta o równaniu\nA.\n2\ny\nB.\n2\ny\nC.\n2\nx\nD.\n2\nx","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli\n\nMamy funkcję \\(f(x) = -2x^2 - 8x + 6\\), czyli:\n\\[a = -2, \\quad b = -8, \\quad c = 6\\]\n\nOś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = p\\), gdzie:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p = -\\frac{-8}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{-8}{-4} = -\\frac{8}{4} = -2\\]\n\n**Oś symetrii: \\(x = -2\\)**\n\n## Sposób 2 - Dopełnienie do kwadratu (postać kanoniczna)\n\nWyłączamy \\(a = -2\\) przed nawias z pierwszych dwóch składników:\n\\[f(x) = -2(x^2 + 4x) + 6\\]\n\nDopełniamy do kwadratu - szukamy \\((x + \\ldots)^2\\):\n\\[x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[f(x) = -2\\left[(x+2)^2 - 4\\right] + 6 = -2(x+2)^2 + 8 + 6\\]\n\\[f(x) = -2(x+2)^2 + 14\\]\n\nTo jest **postać kanoniczna** \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie \\(p = -2\\), \\(q = 14\\).\n\nWierzchołek paraboli to \\(W = (-2,\\ 14)\\), więc oś symetrii to prosta **\\(x = -2\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na oś symetrii paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\noraz postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n\nUżyliśmy obu tych wzorów - pierwszy w Sposobie 1, drugi w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak minus w mianowniku! Wzór to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), a nie \\(\\frac{b}{2a}\\). Tu \\(b = -8\\), więc \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{(-8)}{2 \\cdot (-2)}\\) - łatwo zgubić jeden z minusów i wyjdzie \\(x = 2\\) zamiast \\(x = -2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(a\\) z \\(c\\)! Do wzoru na oś symetrii wchodzi tylko \\(a\\) i \\(b\\) - wyraz wolny \\(c = 6\\) jest tu zupełnie nieistotny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to **prosta**, nie liczba - poprawny zapis to \\(x = -2\\), nie samo \\(-2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nDla funkcji kwadratowej \\(f(x) = -2x^2 - 8x + 6\\) oś symetrii przechodzi przez wierzchołek paraboli.\n\nWspółczynniki: \\(a = -2\\), \\(b = -8\\), \\(c = 6\\).\n\nWzór na oś symetrii:\n\\[x = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-8}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{8}{-4} = -2\\]\n\nOś symetrii: **\\(x = -2\\)**.\n\n**Wzory CKE**: Funkcja kwadratowa (s. 7-9): wierzchołek paraboli \\(p = -\\frac{b}{2a}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 11. (1 pkt)<br>Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej<br>6<br>8<br>2<br>)<br>(<br>2<br>x<br>x<br>x<br>f<br>jest prosta o równaniu<br>A.<br>2<br>y<br>B.<br>2<br>y<br>C.<br>2<br>x<br>D.<br>2<br>x</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli</h4>\n<p>Mamy funkcję \\(f(x) = -2x^2 - 8x + 6\\), czyli:<br>\\[a = -2, \\quad b = -8, \\quad c = 6\\]</p>\n<p>Oś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = p\\), gdzie:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[p = -\\frac{-8}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{-8}{-4} = -\\frac{8}{4} = -2\\]</p>\n<p><strong>Oś symetrii: \\(x = -2\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Dopełnienie do kwadratu (postać kanoniczna)</h4>\n<p>Wyłączamy \\(a = -2\\) przed nawias z pierwszych dwóch składników:<br>\\[f(x) = -2(x^2 + 4x) + 6\\]</p>\n<p>Dopełniamy do kwadratu - szukamy \\((x + \\ldots)^2\\):<br>\\[x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[f(x) = -2\\left[(x+2)^2 - 4\\right] + 6 = -2(x+2)^2 + 8 + 6\\]<br>\\[f(x) = -2(x+2)^2 + 14\\]</p>\n<p>To jest <strong>postać kanoniczna</strong> \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie \\(p = -2\\), \\(q = 14\\).</p>\n<p>Wierzchołek paraboli to \\(W = (-2,\\ 14)\\), więc oś symetrii to prosta <strong>\\(x = -2\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)</strong> - wzór na oś symetrii paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]<br>oraz postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]</p>\n<p>Użyliśmy obu tych wzorów - pierwszy w Sposobie 1, drugi w Sposobie 2.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Znak minus w mianowniku! Wzór to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), a nie \\(\\frac{b}{2a}\\). Tu \\(b = -8\\), więc \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{(-8)}{2 \\cdot (-2)}\\) - łatwo zgubić jeden z minusów i wyjdzie \\(x = 2\\) zamiast \\(x = -2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić \\(a\\) z \\(c\\)! Do wzoru na oś symetrii wchodzi tylko \\(a\\) i \\(b\\) - wyraz wolny \\(c = 6\\) jest tu zupełnie nieistotny.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii to <strong>prosta</strong>, nie liczba - poprawny zapis to \\(x = -2\\), nie samo \\(-2\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)</strong></p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Dla funkcji kwadratowej \\(f(x) = -2x^2 - 8x + 6\\) oś symetrii przechodzi przez wierzchołek paraboli.</p>\n<p>Współczynniki: \\(a = -2\\), \\(b = -8\\), \\(c = 6\\).</p>\n<p>Wzór na oś symetrii:<br>\\[x = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-8}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{8}{-4} = -2\\]</p>\n<p>Oś symetrii: <strong>\\(x = -2\\)</strong>.</p>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Funkcja kwadratowa (s. 7-9): wierzchołek paraboli \\(p = -\\frac{b}{2a}\\).</p>"}]}