{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nCiąg (\n)\nna\njest określony dla\n1\nn ≥ wzorem:\n2\n1\nna\nn\n-. Suma jedenastu początkowych\nwyrazów tego ciągu jest równa\nA. 101\nB. 121\nC. 99\nD. 81","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 121\n\nCiąg \\(a_n = 2n - 1\\) to ciąg arytmetyczny liczb nieparzystych. Suma jedenastu pierwszych wyrazów wynosi **121**.\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Zauważamy**, że \\(a_n = 2n - 1\\) to ciąg arytmetyczny, bo różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:\n\\[a_{n+1} - a_n = (2(n+1)-1) - (2n-1) = 2\\]\n\nParametry ciągu:\n\\[a_1 = 2 \\cdot 1 - 1 = 1\\]\n\\[a_{11} = 2 \\cdot 11 - 1 = 21\\]\n\\[r = 2, \\quad n = 11\\]\n\nStosujemy wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\\[S_{11} = \\frac{a_1 + a_{11}}{2} \\cdot 11 = \\frac{1 + 21}{2} \\cdot 11 = \\frac{22}{2} \\cdot 11 = 11 \\cdot 11\\]\n\\[\\boxed{S_{11} = 121}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie i sumowanie\n\nWypisujemy 11 wyrazów ciągu (liczby nieparzyste od 1 do 21):\n\\[1, \\ 3, \\ 5, \\ 7, \\ 9, \\ 11, \\ 13, \\ 15, \\ 17, \\ 19, \\ 21\\]\n\nGrupujemy parami (pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim ):\n\\[(1 + 21) + (3 + 19) + (5 + 17) + (7 + 15) + (9 + 13) + 11\\]\n\\[= 22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 11 = 5 \\cdot 22 + 11 = 110 + 11 = 121\\]\n\n**Wynik: \\(S_{11} = 121\\)**\n\n> **Ciekawostka:** Suma \\(n\\) pierwszych liczb nieparzystych zawsze wynosi \\(n^2\\). Tu \\(n = 11\\), więc \\(S_{11} = 11^2 = 121\\). Elegancki wynik!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz i sumę ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy obu wzorów: pierwszego do wyznaczenia \\(a_{11} = 21\\), drugiego do obliczenia sumy \\(S_{11}\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić liczbę wyrazów - pamiętaj, że \"jedenaście początkowych wyrazów\" to wyrazy \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{11}\\), a **nie** \\(a_0, \\ldots, a_{10}\\). Ciąg zaczyna się od \\(n = 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając \\(a_{11}\\), podstaw \\(n = 11\\) do wzoru: \\(a_{11} = 2 \\cdot 11 - 1 = 21\\), nie \\(2 \\cdot 11 = 22\\) (błąd o 1, bo wzór ma \"minus 1\").\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błędne podstawienie \\(n = 10\\) zamiast \\(n = 11\\) do wzoru na sumę da \\(S_{10} = 100\\) - to suma dziesięciu, nie jedenastu wyrazów.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(S_{11} = 121\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nCiąg: \\(a_n = 2n - 1\\), czyli \\(1, 3, 5, 7, \\ldots\\) - ciąg arytmetyczny z \\(a_1 = 1\\) i różnicą \\(r = 2\\).\n\nObliczamy \\(a_{11} = 2 \\cdot 11 - 1 = 21\\).\n\nSuma 11 wyrazów:\n\\[S_{11} = \\frac{a_1 + a_{11}}{2} \\cdot 11 = \\frac{1 + 21}{2} \\cdot 11 = 11 \\cdot 11 = 121\\]\n\n**Wzory CKE**: Ciąg arytmetyczny (s. 9): \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 12. (1 pkt)<br>Ciąg (<br>)<br>na<br>jest określony dla<br>1<br>n ≥ wzorem:<br>2<br>1<br>na<br>n<br>-. Suma jedenastu początkowych<br>wyrazów tego ciągu jest równa<br>A. 101<br>B. 121<br>C. 99<br>D. 81</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: 121</h4>\n<p>Ciąg \\(a_n = 2n - 1\\) to ciąg arytmetyczny liczb nieparzystych. Suma jedenastu pierwszych wyrazów wynosi <strong>121</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego</h4>\n<p><strong>Zauważamy</strong>, że \\(a_n = 2n - 1\\) to ciąg arytmetyczny, bo różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:<br>\\[a_{n+1} - a_n = (2(n+1)-1) - (2n-1) = 2\\]</p>\n<p>Parametry ciągu:<br>\\[a_1 = 2 \\cdot 1 - 1 = 1\\]<br>\\[a_{11} = 2 \\cdot 11 - 1 = 21\\]<br>\\[r = 2, \\quad n = 11\\]</p>\n<p>Stosujemy wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]<br>\\[S_{11} = \\frac{a_1 + a_{11}}{2} \\cdot 11 = \\frac{1 + 21}{2} \\cdot 11 = \\frac{22}{2} \\cdot 11 = 11 \\cdot 11\\]<br>\\[\\boxed{S_{11} = 121}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie i sumowanie</h4>\n<p>Wypisujemy 11 wyrazów ciągu (liczby nieparzyste od 1 do 21):<br>\\[1, \\ 3, \\ 5, \\ 7, \\ 9, \\ 11, \\ 13, \\ 15, \\ 17, \\ 19, \\ 21\\]</p>\n<p>Grupujemy parami (pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim ):<br>\\[(1 + 21) + (3 + 19) + (5 + 17) + (7 + 15) + (9 + 13) + 11\\]<br>\\[= 22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 11 = 5 \\cdot 22 + 11 = 110 + 11 = 121\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(S_{11} = 121\\)</strong></p>\n<blockquote><strong>Ciekawostka:</strong> Suma \\(n\\) pierwszych liczb nieparzystych zawsze wynosi \\(n^2\\). Tu \\(n = 11\\), więc \\(S_{11} = 11^2 = 121\\). Elegancki wynik!</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz i sumę ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>Użyliśmy obu wzorów: pierwszego do wyznaczenia \\(a_{11} = 21\\), drugiego do obliczenia sumy \\(S_{11}\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić liczbę wyrazów - pamiętaj, że &quot;jedenaście początkowych wyrazów&quot; to wyrazy \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{11}\\), a <strong>nie</strong> \\(a_0, \\ldots, a_{10}\\). Ciąg zaczyna się od \\(n = 1\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Obliczając \\(a_{11}\\), podstaw \\(n = 11\\) do wzoru: \\(a_{11} = 2 \\cdot 11 - 1 = 21\\), nie \\(2 \\cdot 11 = 22\\) (błąd o 1, bo wzór ma &quot;minus 1&quot;).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Błędne podstawienie \\(n = 10\\) zamiast \\(n = 11\\) do wzoru na sumę da \\(S_{10} = 100\\) - to suma dziesięciu, nie jedenastu wyrazów.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(S_{11} = 121\\)</strong></p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Ciąg: \\(a_n = 2n - 1\\), czyli \\(1, 3, 5, 7, \\ldots\\) - ciąg arytmetyczny z \\(a_1 = 1\\) i różnicą \\(r = 2\\).</p>\n<p>Obliczamy \\(a_{11} = 2 \\cdot 11 - 1 = 21\\).</p>\n<p>Suma 11 wyrazów:<br>\\[S_{11} = \\frac{a_1 + a_{11}}{2} \\cdot 11 = \\frac{1 + 21}{2} \\cdot 11 = 11 \\cdot 11 = 121\\]</p>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Ciąg arytmetyczny (s. 9): \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\).</p>"}]}