{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\ndla\n1\nn ≥, w którym\n10\n11\na\noraz\n100\n111\na\n. Wtedy\nróżnica r tego ciągu jest równa\nA.\n9\n10\nB.\n100\nC. 10\n9\nD. 100\nP(2,1)\ny = f(x)\nx\ny\n-2\n0\n2\n5\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = \\dfrac{10}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań z wzoru ogólnego\n\nZe wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zapisujemy dwa równania dla danych wyrazów:\n\n\\[a_{10} = a_1 + 9r = 11\\]\n\\[a_{100} = a_1 + 99r = 111\\]\n\n**Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego**, żeby wyeliminować \\(a_1\\):\n\n\\[(a_1 + 99r) - (a_1 + 9r) = 111 - 11\\]\n\n\\[90r = 100\\]\n\n\\[r = \\frac{100}{90} = \\frac{10}{9}\\]\n\n**Wynik: \\(r = \\dfrac{10}{9}\\)**\n\n## Sposób 2 - wzór na różnicę z odległości między wyrazami\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między dowolnymi dwoma wyrazami zależy od ich numerów:\n\n\\[a_m - a_n = (m - n) \\cdot r\\]\n\nPodstawiamy bezpośrednio:\n\n\\[a_{100} - a_{10} = (100 - 10) \\cdot r\\]\n\n\\[111 - 11 = 90r\\]\n\n\\[100 = 90r\\]\n\n\\[\\boxed{r = \\frac{10}{9}}\\]\n\nSzybciej i bez układu równań - jeden krok.\n\n**Weryfikacja:** \\(a_1 = 11 - 9 \\cdot \\frac{10}{9} = 11 - 10 = 1\\), następnie \\(a_{100} = 1 + 99 \\cdot \\frac{10}{9} = 1 + 110 = 111\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1, by zapisać dwa równania dla \\(a_{10}\\) i \\(a_{100}\\).\n\nZ tego wzoru wynika też własność użyta w Sposobie 2:\n\\[a_m - a_n = (m-n) \\cdot r\\]\n(wystarczy odjąć wzory ogólne dla \\(a_m\\) i \\(a_n\\))\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) - indeks to \\((n-1)\\), nie \\(n\\)! Częsty błąd to napisanie \\(a_{10} = a_1 + 10r\\) zamiast \\(a_1 + 9r\\). Wtedy wychodzi \\(r = \\frac{100}{90} = \\frac{10}{9}\\) … ale z innymi wartościami pośrednimi - łatwo stracić punkty przy zadaniach otwartych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{100}{90}\\) należy skrócić do \\(\\frac{10}{9}\\). Pozostawienie niezredukowanego ułamka to błąd formalny na egzaminie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że różnica musi być całkowita! Tu \\(r = \\frac{10}{9} \\approx 1{,}11\\) - ciąg arytmetyczny z ułamkową różnicą jest jak najbardziej poprawny.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(r = \\frac{10}{9}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nW ciągu arytmetycznym \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:\n\n\\[a_{100} - a_{10} = [a_1 + 99r] - [a_1 + 9r] = 90r\\]\n\nPodstawiamy wartości:\n\\[111 - 11 = 90r\\]\n\\[100 = 90r\\]\n\\[r = \\frac{100}{90} = \\frac{10}{9}\\]\n\n**Wzory CKE**: Ciąg arytmetyczny (s. 9): \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 13. (1 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny (
)
n
a
dla
1
n ≥, w którym
10
11
a
oraz
100
111
a
. Wtedy
różnica r tego ciągu jest równa
A.
9
10
B.
100
C. 10
9
D. 100
P(2,1)
y = f(x)
x
y
-2
0
2
5

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(r = \\dfrac{10}{9}\\)

\n

Sposób 1 - układ równań z wzoru ogólnego

\n

Ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zapisujemy dwa równania dla danych wyrazów:

\n

\\[a_{10} = a_1 + 9r = 11\\]
\\[a_{100} = a_1 + 99r = 111\\]

\n

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, żeby wyeliminować \\(a_1\\):

\n

\\[(a_1 + 99r) - (a_1 + 9r) = 111 - 11\\]

\n

\\[90r = 100\\]

\n

\\[r = \\frac{100}{90} = \\frac{10}{9}\\]

\n

Wynik: \\(r = \\dfrac{10}{9}\\)

\n

Sposób 2 - wzór na różnicę z odległości między wyrazami

\n

W ciągu arytmetycznym różnica między dowolnymi dwoma wyrazami zależy od ich numerów:

\n

\\[a_m - a_n = (m - n) \\cdot r\\]

\n

Podstawiamy bezpośrednio:

\n

\\[a_{100} - a_{10} = (100 - 10) \\cdot r\\]

\n

\\[111 - 11 = 90r\\]

\n

\\[100 = 90r\\]

\n

\\[\\boxed{r = \\frac{10}{9}}\\]

\n

Szybciej i bez układu równań - jeden krok.

\n

Weryfikacja: \\(a_1 = 11 - 9 \\cdot \\frac{10}{9} = 11 - 10 = 1\\), następnie \\(a_{100} = 1 + 99 \\cdot \\frac{10}{9} = 1 + 110 = 111\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1, by zapisać dwa równania dla \\(a_{10}\\) i \\(a_{100}\\).

\n

Z tego wzoru wynika też własność użyta w Sposobie 2:
\\[a_m - a_n = (m-n) \\cdot r\\]
(wystarczy odjąć wzory ogólne dla \\(a_m\\) i \\(a_n\\))

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) - indeks to \\((n-1)\\), nie \\(n\\)! Częsty błąd to napisanie \\(a_{10} = a_1 + 10r\\) zamiast \\(a_1 + 9r\\). Wtedy wychodzi \\(r = \\frac{100}{90} = \\frac{10}{9}\\) … ale z innymi wartościami pośrednimi - łatwo stracić punkty przy zadaniach otwartych.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\frac{100}{90}\\) należy skrócić do \\(\\frac{10}{9}\\). Pozostawienie niezredukowanego ułamka to błąd formalny na egzaminie.
\n
⚠️ Uwaga: Nie zakładaj, że różnica musi być całkowita! Tu \\(r = \\frac{10}{9} \\approx 1{,}11\\) - ciąg arytmetyczny z ułamkową różnicą jest jak najbardziej poprawny.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(r = \\frac{10}{9}\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

W ciągu arytmetycznym \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:

\n

\\[a_{100} - a_{10} = [a_1 + 99r] - [a_1 + 9r] = 90r\\]

\n

Podstawiamy wartości:
\\[111 - 11 = 90r\\]
\\[100 = 90r\\]
\\[r = \\frac{100}{90} = \\frac{10}{9}\\]

\n

Wzory CKE: Ciąg arytmetyczny (s. 9): \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).

"}]}