{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nW trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych 2 i 5 cosinus większego z kątów\nostrych jest równy\nA. 5\n2\nB.\n2\n5\nC.\n2\n29\nD.\n5\n29","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{29}} = \\dfrac{2\\sqrt{29}}{29}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym\n\n**Wyznaczamy przeciwprostokątną** ze wzoru Pitagorasa.\n\nNiech przyprostokątne to \\(a = 2\\) i \\(b = 5\\), a przeciwprostokątna to \\(c\\).\n\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{2^2 + 5^2} = \\sqrt{4 + 25} = \\sqrt{29}\\]\n\n**Który kąt ostry jest większy?**\n\nWiększy kąt ostry leży naprzeciwko dłuższej przyprostokątnej. Skoro \\(5 > 2\\), to kąt \\(\\alpha\\) naprzeciwko przyprostokątnej \\(b = 5\\) jest **większy**.\n\n**Obliczamy cosinus większego kąta.**\n\nCosinus kąta = \\(\\frac{\\text{przyległa przyprostokątna}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\)\n\nPrzyprostokątna **przylegająca** do kąta \\(\\alpha\\) (czyli ta, która nie jest naprzeciwko niego) to \\(a = 2\\).\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{29}} = \\frac{2}{\\sqrt{29}} \\cdot \\frac{\\sqrt{29}}{\\sqrt{29}} = \\boxed{\\frac{2\\sqrt{29}}{29}}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów (weryfikacja)\n\nW trójkącie prostokątnym kąt \\(\\alpha\\) jest zawarty między bokiem \\(c = \\sqrt{29}\\) (przeciwprostokątna) a bokiem \\(a = 2\\). Znamy wszystkie boki, więc możemy sprawdzić wynik twierdzeniem cosinusów:\n\n\\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\\cos\\alpha\\]\n\nPodstawiamy \\(b = 5\\), \\(a = 2\\), \\(c = \\sqrt{29}\\):\n\n\\[25 = 4 + 29 - 2 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{29} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{29}}\\]\n\\[25 = 33 - 4 \\cdot 2\\]\n\\[25 = 33 - 8 = 25 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte do obliczenia długości przeciwprostokątnej \\(c = \\sqrt{29}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nBezpośrednio zastosowane do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{29}}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który kąt jest **większy**. Większy kąt ostry jest **naprzeciwko dłuższego boku** - tu naprzeciwko 5, nie 2. Cosinus tego kąta to \\(\\frac{2}{\\sqrt{29}}\\), nie \\(\\frac{5}{\\sqrt{29}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cosinus większego kąta ostrego jest **mniejszy** - to ma sens! Im większy kąt ostry (bliższy 90°), tym mniejszy cosinus. Sprawdź: \\(\\frac{2}{\\sqrt{29}} < \\frac{5}{\\sqrt{29}}\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{2}{\\sqrt{29}}\\) i \\(\\frac{2\\sqrt{29}}{29}\\) to **ta sama liczba** - obie formy są poprawne, ale na maturze preferuje się postać z wymiernym mianownikiem: \\(\\dfrac{2\\sqrt{29}}{29}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{2\\sqrt{29}}{29}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nTrójkąt prostokątny o przyprostokątnych 2 i 5.\n\nPrzeciwprostokątna: \\(c = \\sqrt{2^2 + 5^2} = \\sqrt{4 + 25} = \\sqrt{29}\\)\n\nWiększy kąt ostry jest naprzeciwko dłuższej przyprostokątnej (5). Oznaczmy go \\(\\beta\\).\n\nCosinus tego kąta (stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej):\n\\[\\cos\\beta = \\frac{2}{\\sqrt{29}} = \\frac{2\\sqrt{29}}{29}\\]\n\n**Wzory CKE**: Trygonometria (s. 11): \\(\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\), tw. Pitagorasa (s. 15).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 14. (1 pkt)
W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych 2 i 5 cosinus większego z kątów
ostrych jest równy
A. 5
2
B.
2
5
C.
2
29
D.
5
29

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{29}} = \\dfrac{2\\sqrt{29}}{29}\\)

\n

Sposób 1 - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym

\n

Wyznaczamy przeciwprostokątną ze wzoru Pitagorasa.

\n

Niech przyprostokątne to \\(a = 2\\) i \\(b = 5\\), a przeciwprostokątna to \\(c\\).

\n

\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{2^2 + 5^2} = \\sqrt{4 + 25} = \\sqrt{29}\\]

\n

Który kąt ostry jest większy?

\n

Większy kąt ostry leży naprzeciwko dłuższej przyprostokątnej. Skoro \\(5 > 2\\), to kąt \\(\\alpha\\) naprzeciwko przyprostokątnej \\(b = 5\\) jest większy.

\n

Obliczamy cosinus większego kąta.

\n

Cosinus kąta = \\(\\frac{\\text{przyległa przyprostokątna}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\)

\n

Przyprostokątna przylegająca do kąta \\(\\alpha\\) (czyli ta, która nie jest naprzeciwko niego) to \\(a = 2\\).

\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{29}} = \\frac{2}{\\sqrt{29}} \\cdot \\frac{\\sqrt{29}}{\\sqrt{29}} = \\boxed{\\frac{2\\sqrt{29}}{29}}\\]

\n

Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów (weryfikacja)

\n

W trójkącie prostokątnym kąt \\(\\alpha\\) jest zawarty między bokiem \\(c = \\sqrt{29}\\) (przeciwprostokątna) a bokiem \\(a = 2\\). Znamy wszystkie boki, więc możemy sprawdzić wynik twierdzeniem cosinusów:

\n

\\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\\cos\\alpha\\]

\n

Podstawiamy \\(b = 5\\), \\(a = 2\\), \\(c = \\sqrt{29}\\):

\n

\\[25 = 4 + 29 - 2 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{29} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{29}}\\]
\\[25 = 33 - 4 \\cdot 2\\]
\\[25 = 33 - 8 = 25 \\checkmark\\]

\n

Wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte do obliczenia długości przeciwprostokątnej \\(c = \\sqrt{29}\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]
Bezpośrednio zastosowane do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{29}}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, który kąt jest większy. Większy kąt ostry jest naprzeciwko dłuższego boku - tu naprzeciwko 5, nie 2. Cosinus tego kąta to \\(\\frac{2}{\\sqrt{29}}\\), nie \\(\\frac{5}{\\sqrt{29}}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Cosinus większego kąta ostrego jest mniejszy - to ma sens! Im większy kąt ostry (bliższy 90°), tym mniejszy cosinus. Sprawdź: \\(\\frac{2}{\\sqrt{29}} < \\frac{5}{\\sqrt{29}}\\) ✓
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\frac{2}{\\sqrt{29}}\\) i \\(\\frac{2\\sqrt{29}}{29}\\) to ta sama liczba - obie formy są poprawne, ale na maturze preferuje się postać z wymiernym mianownikiem: \\(\\dfrac{2\\sqrt{29}}{29}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{2\\sqrt{29}}{29}\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 2 i 5.

\n

Przeciwprostokątna: \\(c = \\sqrt{2^2 + 5^2} = \\sqrt{4 + 25} = \\sqrt{29}\\)

\n

Większy kąt ostry jest naprzeciwko dłuższej przyprostokątnej (5). Oznaczmy go \\(\\beta\\).

\n

Cosinus tego kąta (stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej):
\\[\\cos\\beta = \\frac{2}{\\sqrt{29}} = \\frac{2\\sqrt{29}}{29}\\]

\n

Wzory CKE: Trygonometria (s. 11): \\(\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\), tw. Pitagorasa (s. 15).

"}]}