{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nKąt α jest ostry oraz\n0\ncos\n3\nsin\n3\nα\nα\n. Wtedy\nA.\n1\ntg\n3\nα =\nB. tg\n3\nα =\nC. tg\n3\nα =\nD.\n3\ntg\n3\nα =","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(3\\sin\\alpha=\\sqrt{3}\\cos\\alpha\\Rightarrow \\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\). Stąd odpowiedź **D**.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\)** (najbardziej prawdopodobna interpretacja)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nNajbardziej prawdopodobna postać równania (z uwagi na jakość OCR) to:\n\\[3\\sin\\alpha - \\sqrt{3}\\cos\\alpha = 0\\]\n\nPrzenosimy:\n\\[3\\sin\\alpha = \\sqrt{3}\\cos\\alpha\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\) (kąt ostry):\n\\[3\\operatorname{tg}\\alpha = \\sqrt{3}\\]\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nCzyli \\(\\alpha = 30°\\), bo \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n\n**Wzory CKE**: Trygonometria (s. 11-12): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), tablica wartości funkcji trygonometrycznych.\n\n**Uwaga**: W zależności od dokładnej postaci równania odpowiedź może być inna. Przy równaniu \\(\\sqrt{3}\\sin\\alpha - 3\\cos\\alpha = 0\\) otrzymujemy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\sqrt{3}\\), czyli \\(\\alpha = 60°\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>Kąt α jest ostry oraz<br>0<br>cos<br>3<br>sin<br>3<br>α<br>α<br>. Wtedy<br>A.<br>1<br>tg<br>3<br>α =<br>B. tg<br>3<br>α =<br>C. tg<br>3<br>α =<br>D.<br>3<br>tg<br>3<br>α =</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>\\(3\\sin\\alpha=\\sqrt{3}\\cos\\alpha\\Rightarrow \\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\). Stąd odpowiedź <strong>D</strong>.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\)</strong> (najbardziej prawdopodobna interpretacja)</p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Najbardziej prawdopodobna postać równania (z uwagi na jakość OCR) to:<br>\\[3\\sin\\alpha - \\sqrt{3}\\cos\\alpha = 0\\]</p>\n<p>Przenosimy:<br>\\[3\\sin\\alpha = \\sqrt{3}\\cos\\alpha\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\) (kąt ostry):<br>\\[3\\operatorname{tg}\\alpha = \\sqrt{3}\\]<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]</p>\n<p>Czyli \\(\\alpha = 30°\\), bo \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\).</p>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Trygonometria (s. 11-12): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), tablica wartości funkcji trygonometrycznych.</p>\n<p><strong>Uwaga</strong>: W zależności od dokładnej postaci równania odpowiedź może być inna. Przy równaniu \\(\\sqrt{3}\\sin\\alpha - 3\\cos\\alpha = 0\\) otrzymujemy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\sqrt{3}\\), czyli \\(\\alpha = 60°\\).</p>"}]}