{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nDłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość\n.2\n2\nPole tego sześciokąta jest równe\nA.\n3\n12\nB. 6 3\nC.\n3\n2\nD.\n3\n3","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(3\\sqrt{3}\\)\n\nDłuższa przekątna sześciokąta foremnego = \\(2a\\), więc \\(2a=2\\sqrt{2}\\Rightarrow a=\\sqrt{2}\\). Pole \\(=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}a^{2}=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\cdot 2=3\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(3\\sqrt{3}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nDłuższa przekątna sześciokąta foremnego (przechodząca przez środek) ma długość \\(2a\\), gdzie \\(a\\) to bok sześciokąta.\n\nZ treści: \\(2a = 2\\sqrt{2}\\), więc \\(a = \\sqrt{2}\\).\n\nPole sześciokąta foremnego o boku \\(a\\) to suma pól 6 trójkątów równobocznych:\n\\[P = 6 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = \\sqrt{2}\\):\n\\[P = \\frac{3 \\cdot (\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{3 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n**Wzory CKE**: Planimetria - pole trójkąta równobocznego (s. 16): \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 16. (1 pkt)
Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość
.2
2
Pole tego sześciokąta jest równe
A.
3
12
B. 6 3
C.
3
2
D.
3
3

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(3\\sqrt{3}\\)

\n

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego = \\(2a\\), więc \\(2a=2\\sqrt{2}\\Rightarrow a=\\sqrt{2}\\). Pole \\(=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}a^{2}=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\cdot 2=3\\sqrt{3}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: \\(3\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego (przechodząca przez środek) ma długość \\(2a\\), gdzie \\(a\\) to bok sześciokąta.

\n

Z treści: \\(2a = 2\\sqrt{2}\\), więc \\(a = \\sqrt{2}\\).

\n

Pole sześciokąta foremnego o boku \\(a\\) to suma pól 6 trójkątów równobocznych:
\\[P = 6 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Podstawiamy \\(a = \\sqrt{2}\\):
\\[P = \\frac{3 \\cdot (\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{3 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]

\n

Wzory CKE: Planimetria - pole trójkąta równobocznego (s. 16): \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).

"}]}