{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nObwody dwóch trójkątów podobnych, których pola pozostają w stosunku\n4\n:\n1\n, mogą być\nrówne\nA. 9 i 36\nB. 18 i 36\nC. 9 i 144\nD. 18 i 144","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (18 i 36)\n\n## Sposób 1 - Wzór na stosunek pól figur podobnych\n\n**Kluczowa zasada:** Jeśli dwie figury są podobne ze współczynnikiem podobieństwa \\(k\\), to:\n- odpowiednie długości (w tym obwody) mają się jak \\(k : 1\\),\n- pola mają się jak \\(k^2 : 1\\).\n\n**Wyznaczamy współczynnik podobieństwa** ze stosunku pól:\n\nPola są w stosunku \\(1 : 4\\), więc:\n\\[k^2 = \\frac{4}{1} = 4 \\implies k = 2\\]\n\n**Wniosek:** Obwody muszą być w stosunku \\(1 : 2\\).\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n| Odpowiedź | Obwody | Stosunek | Czy = \\(1:2\\)? |\n| A | \\(9\\) i \\(36\\) | \\(9:36 = 1:4\\) | ✗ |\n| **B** | \\(18\\) i \\(36\\) | \\(18:36 = 1:2\\) | **✓** |\n| C | \\(9\\) i \\(144\\) | \\(9:144 = 1:16\\) | ✗ |\n| D | \\(18\\) i \\(144\\) | \\(18:144 = 1:8\\) | ✗ |\n\n**Odpowiedź B: obwody 18 i 36 są w stosunku \\(1:2\\)** - jedynym zgodnym z warunkiem zadania.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez przykładowy trójkąt\n\nSkonstruujemy konkretne trójkąty podobne o polach w stosunku \\(1:4\\) i sprawdzimy, jakie dają obwody.\n\nWeźmy **trójkąt prostokątny o bokach \\(3, 4, 5\\)**:\n\\[P_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 4 = 6, \\quad L_1 = 3 + 4 + 5 = 12\\]\n\nPowiększamy go \\(k = 2\\)-krotnie → boki \\(6, 8, 10\\):\n\\[P_2 = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24, \\quad L_2 = 6 + 8 + 10 = 24\\]\n\nStosunek pól: \\(\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\) ✓\n\nStosunek obwodów: \\(\\frac{L_1}{L_2} = \\frac{12}{24} = \\frac{1}{2}\\) ✓\n\nObwody są w stosunku \\(1:2\\). Sprawdzamy odpowiedź B: \\(18\\) i \\(36\\) to \\(18 \\cdot \\frac{3}{2} = 27\\) ale nie muszą to być właśnie te liczby - **warunek to tylko stosunek \\(1:2\\)**. I właśnie \\(\\frac{18}{36} = \\frac{1}{2}\\) ✓.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\ngdzie \\(k\\) to współczynnik podobieństwa (skala liniowa). To stąd wynika, że jeśli pola są w stosunku \\(1:4\\), to \\(k = 2\\) i obwody są w stosunku \\(1:2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Stosunek obwodów | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(9:36 = 1:4\\) | Uczeń bierze stosunek pól (\\(1:4\\)) zamiast pierwiastka z niego - stosuje go bezpośrednio do obwodów |\n| C | \\(9:144 = 1:16\\) | Uczeń podnosi stosunek do kwadratu zamiast brać pierwiastek: \\(k^2 = 4 \\Rightarrow\\) błędnie \\(k = 16\\) |\n| D | \\(18:144 = 1:8\\) | Miesza się stosunek liniowy i powierzchniowy - np. \\(k = 8\\) bez wyraźnego uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pola figur podobnych są proporcjonalne do **kwadratu** współczynnika podobieństwa. Z pola **nie odczytujesz wprost** stosunku obwodów - musisz **wyciągnąć pierwiastek** ze stosunku pól!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o obwody, które **mogą** być równe - nie musi to być jedyna możliwa para liczb. Wystarczy, że stosunek tych obwodów wynosi \\(1:2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek - pola rosną szybciej (kwadratowo) niż długości. Trójkąt 2 razy większy liniowo ma pole **4 razy większe**, nie 2 razy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - 18 i 36\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nDla figur podobnych stosunek pól wynosi \\(k^2\\), a stosunek obwodów wynosi \\(k\\), gdzie \\(k\\) to skala podobieństwa.\n\nPola w stosunku \\(1:4\\), czyli \\(k^2 = \\frac{1}{4}\\), więc \\(k = \\frac{1}{2}\\).\n\nObwody muszą być w stosunku \\(k = \\frac{1}{2}\\), czyli **jeden obwód jest połową drugiego**.\n\nSprawdzamy opcje:\n- A. \\(9\\) i \\(36\\): stosunek \\(\\frac{9}{36} = \\frac{1}{4}\\) ✗\n- **B.** \\(18\\) i \\(36\\): stosunek \\(\\frac{18}{36} = \\frac{1}{2}\\) ✓\n- C. \\(9\\) i \\(144\\): stosunek \\(\\frac{9}{144} = \\frac{1}{16}\\) ✗\n- D. \\(18\\) i \\(144\\): stosunek \\(\\frac{18}{144} = \\frac{1}{8}\\) ✗\n\n**Wzory CKE**: Planimetria (s. 21): \\(\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\), \\(\\frac{Ob_B}{Ob_A} = k\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 17. (1 pkt)<br>Obwody dwóch trójkątów podobnych, których pola pozostają w stosunku<br>4<br>:<br>1<br>, mogą być<br>równe<br>A. 9 i 36<br>B. 18 i 36<br>C. 9 i 144<br>D. 18 i 144</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (18 i 36)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na stosunek pól figur podobnych</h4>\n<p><strong>Kluczowa zasada:</strong> Jeśli dwie figury są podobne ze współczynnikiem podobieństwa \\(k\\), to:</p>\n<ul><li>odpowiednie długości (w tym obwody) mają się jak \\(k : 1\\),</li><li>pola mają się jak \\(k^2 : 1\\).</li></ul>\n<p><strong>Wyznaczamy współczynnik podobieństwa</strong> ze stosunku pól:</p>\n<p>Pola są w stosunku \\(1 : 4\\), więc:<br>\\[k^2 = \\frac{4}{1} = 4 \\implies k = 2\\]</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Obwody muszą być w stosunku \\(1 : 2\\).</p>\n<p>Sprawdzamy każdą odpowiedź:</p>\n<p>| Odpowiedź | Obwody | Stosunek | Czy = \\(1:2\\)? |<br>| A | \\(9\\) i \\(36\\) | \\(9:36 = 1:4\\) | ✗ |<br>| <strong>B</strong> | \\(18\\) i \\(36\\) | \\(18:36 = 1:2\\) | <strong>✓</strong> |<br>| C | \\(9\\) i \\(144\\) | \\(9:144 = 1:16\\) | ✗ |<br>| D | \\(18\\) i \\(144\\) | \\(18:144 = 1:8\\) | ✗ |</p>\n<p><strong>Odpowiedź B: obwody 18 i 36 są w stosunku \\(1:2\\)</strong> - jedynym zgodnym z warunkiem zadania.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez przykładowy trójkąt</h4>\n<p>Skonstruujemy konkretne trójkąty podobne o polach w stosunku \\(1:4\\) i sprawdzimy, jakie dają obwody.</p>\n<p>Weźmy <strong>trójkąt prostokątny o bokach \\(3, 4, 5\\)</strong>:<br>\\[P_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 4 = 6, \\quad L_1 = 3 + 4 + 5 = 12\\]</p>\n<p>Powiększamy go \\(k = 2\\)-krotnie → boki \\(6, 8, 10\\):<br>\\[P_2 = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24, \\quad L_2 = 6 + 8 + 10 = 24\\]</p>\n<p>Stosunek pól: \\(\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\) ✓</p>\n<p>Stosunek obwodów: \\(\\frac{L_1}{L_2} = \\frac{12}{24} = \\frac{1}{2}\\) ✓</p>\n<p>Obwody są w stosunku \\(1:2\\). Sprawdzamy odpowiedź B: \\(18\\) i \\(36\\) to \\(18 \\cdot \\frac{3}{2} = 27\\) ale nie muszą to być właśnie te liczby - <strong>warunek to tylko stosunek \\(1:2\\)</strong>. I właśnie \\(\\frac{18}{36} = \\frac{1}{2}\\) ✓.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20)</strong> - pola figur podobnych:<br>\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]<br>gdzie \\(k\\) to współczynnik podobieństwa (skala liniowa). To stąd wynika, że jeśli pola są w stosunku \\(1:4\\), to \\(k = 2\\) i obwody są w stosunku \\(1:2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Stosunek obwodów | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | \\(9:36 = 1:4\\) | Uczeń bierze stosunek pól (\\(1:4\\)) zamiast pierwiastka z niego - stosuje go bezpośrednio do obwodów |<br>| C | \\(9:144 = 1:16\\) | Uczeń podnosi stosunek do kwadratu zamiast brać pierwiastek: \\(k^2 = 4 \\Rightarrow\\) błędnie \\(k = 16\\) |<br>| D | \\(18:144 = 1:8\\) | Miesza się stosunek liniowy i powierzchniowy - np. \\(k = 8\\) bez wyraźnego uzasadnienia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pola figur podobnych są proporcjonalne do <strong>kwadratu</strong> współczynnika podobieństwa. Z pola <strong>nie odczytujesz wprost</strong> stosunku obwodów - musisz <strong>wyciągnąć pierwiastek</strong> ze stosunku pól!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie pyta o obwody, które <strong>mogą</strong> być równe - nie musi to być jedyna możliwa para liczb. Wystarczy, że stosunek tych obwodów wynosi \\(1:2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić kierunek - pola rosną szybciej (kwadratowo) niż długości. Trójkąt 2 razy większy liniowo ma pole <strong>4 razy większe</strong>, nie 2 razy.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong> - 18 i 36</p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Dla figur podobnych stosunek pól wynosi \\(k^2\\), a stosunek obwodów wynosi \\(k\\), gdzie \\(k\\) to skala podobieństwa.</p>\n<p>Pola w stosunku \\(1:4\\), czyli \\(k^2 = \\frac{1}{4}\\), więc \\(k = \\frac{1}{2}\\).</p>\n<p>Obwody muszą być w stosunku \\(k = \\frac{1}{2}\\), czyli <strong>jeden obwód jest połową drugiego</strong>.</p>\n<p>Sprawdzamy opcje:</p>\n<ul><li>A. \\(9\\) i \\(36\\): stosunek \\(\\frac{9}{36} = \\frac{1}{4}\\) ✗</li><li><strong>B.</strong> \\(18\\) i \\(36\\): stosunek \\(\\frac{18}{36} = \\frac{1}{2}\\) ✓</li><li>C. \\(9\\) i \\(144\\): stosunek \\(\\frac{9}{144} = \\frac{1}{16}\\) ✗</li><li>D. \\(18\\) i \\(144\\): stosunek \\(\\frac{18}{144} = \\frac{1}{8}\\) ✗</li></ul>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Planimetria (s. 21): \\(\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\), \\(\\frac{Ob_B}{Ob_A} = k\\).</p>"}]}