{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nPunkty\n(\n)\n3,2\nA =\ni C są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD, a punkt\n(\n)\n6,5\nO =\njest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Współrzędne punktu C są równe\nA. (\n)\n9,8\nB. (\n)\n15,12\nC.\n1\n1\n4\n,3\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nD. (\n)\n3,3","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C = (9, 8)\n\n## Sposób 1 - Środek przekątnej = środek okręgu opisanego\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** W kwadracie środek okręgu opisanego to punkt przecięcia przekątnych, czyli **środek odcinka AC**.\n\nMamy:\n- \\(A = (3, 2)\\), \\(C = (x_C, y_C)\\)\n- Środek \\(O = (6, 5)\\)\n\nZe wzoru na środek odcinka:\n\\[\\frac{x_A + x_C}{2} = x_O \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{3 + x_C}{2} = 6\\]\n\\[3 + x_C = 12 \\quad \\Rightarrow \\quad x_C = 9\\]\n\n\\[\\frac{y_A + y_C}{2} = y_O \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{2 + y_C}{2} = 5\\]\n\\[2 + y_C = 10 \\quad \\Rightarrow \\quad y_C = 8\\]\n\n**Punkt \\(C = (9, 8)\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odbudowę kwadratu\n\nOdcinek \\(AC\\) ma wektor kierunkowy:\n\\[\\vec{AC} = [9-3,\\ 8-2] = [6, 6]\\]\n\nDługość przekątnej:\n\\[|AC| = \\sqrt{6^2 + 6^2} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\\]\n\nBok kwadratu: \\(a = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 6\\) ✓ (liczba całkowita - dobry znak)\n\nPrzekątna \\(BD\\) jest prostopadła do \\(AC\\), więc ma kierunek \\([1, -1]\\) (obrót o 90°). Wierzchołki:\n\\[B = O + 3\\cdot[1, -1] = (6+3,\\ 5-3) = (9, 2)\\]\n\\[D = O - 3\\cdot[1, -1] = (6-3,\\ 5+3) = (3, 8)\\]\n\nSprawdzenie boku \\(AB\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(9-3)^2 + (2-2)^2} = \\sqrt{36} = 6\\]\n\nSprawdzenie boku \\(BC\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(9-9)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{36} = 6\\]\n\nKąt \\(ABC\\) - wektory \\(\\vec{BA} = [-6, 0]\\) i \\(\\vec{BC} = [0, 6]\\) są prostopadłe ✓\n\n**Kwadrat \\(ABCD\\): \\(A=(3,2)\\), \\(B=(9,2)\\), \\(C=(9,8)\\), \\(D=(3,8)\\)** - pełna weryfikacja przeszła. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyty bezpośrednio w Sposobie 1 - środek \\(O\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyty w Sposobie 2 do weryfikacji długości boków.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - mylenie środka okręgu opisanego z wierzchołkiem B lub D. Pamiętaj: \\(O\\) leży na **przekątnej AC**, nie na boku kwadratu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ktoś może wziąć \\(O\\) jako punkt symetrii względem jednego boku, a nie środek przekątnej - to błąd. W kwadracie środek okręgu opisanego = środek obu przekątnych jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź kolejność wierzchołków! \\(A\\) i \\(C\\) są **przeciwległe** (tzn. na tej samej przekątnej), a nie sąsiednie - gdyby były sąsiednie, \\(O\\) byłoby środkiem boku, co jest nonsensem dla kwadratu.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(C = (9, 8)\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nKwadrat ABCD z \\(A = (3, 2)\\) i \\(C\\) naprzeciwko. Punkt \\(O = (6, 5)\\) jest środkiem okręgu opisanego na kwadracie.\n\nŚrodek okręgu opisanego na kwadracie jest punktem przecięcia przekątnych, więc \\(O\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\).\n\nZ wzoru na środek odcinka:\n\\[O = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\; \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]\n\nStąd:\n\\[x_C = 2 \\cdot 6 - 3 = 9\\]\n\\[y_C = 2 \\cdot 5 - 2 = 8\\]\n\n\\[C = (9, 8)\\]\n\n**Wzory CKE**: Geometria analityczna (s. 22): środek odcinka \\(x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}\\), \\(y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 18. (1 pkt)
Punkty
(
)
3,2
A =
i C są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD, a punkt
(
)
6,5
O =
jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Współrzędne punktu C są równe
A. (
)
9,8
B. (
)
15,12
C.
1
1
4
,3
2
2






D. (
)
3,3

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C = (9, 8)

\n

Sposób 1 - Środek przekątnej = środek okręgu opisanego

\n

Kluczowe spostrzeżenie: W kwadracie środek okręgu opisanego to punkt przecięcia przekątnych, czyli środek odcinka AC.

\n

Mamy:

\n\n

Ze wzoru na środek odcinka:
\\[\\frac{x_A + x_C}{2} = x_O \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{3 + x_C}{2} = 6\\]
\\[3 + x_C = 12 \\quad \\Rightarrow \\quad x_C = 9\\]

\n

\\[\\frac{y_A + y_C}{2} = y_O \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{2 + y_C}{2} = 5\\]
\\[2 + y_C = 10 \\quad \\Rightarrow \\quad y_C = 8\\]

\n

Punkt \\(C = (9, 8)\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez odbudowę kwadratu

\n

Odcinek \\(AC\\) ma wektor kierunkowy:
\\[\\vec{AC} = [9-3,\\ 8-2] = [6, 6]\\]

\n

Długość przekątnej:
\\[|AC| = \\sqrt{6^2 + 6^2} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\\]

\n

Bok kwadratu: \\(a = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 6\\) ✓ (liczba całkowita - dobry znak)

\n

Przekątna \\(BD\\) jest prostopadła do \\(AC\\), więc ma kierunek \\([1, -1]\\) (obrót o 90°). Wierzchołki:
\\[B = O + 3\\cdot[1, -1] = (6+3,\\ 5-3) = (9, 2)\\]
\\[D = O - 3\\cdot[1, -1] = (6-3,\\ 5+3) = (3, 8)\\]

\n

Sprawdzenie boku \\(AB\\):
\\[|AB| = \\sqrt{(9-3)^2 + (2-2)^2} = \\sqrt{36} = 6\\]

\n

Sprawdzenie boku \\(BC\\):
\\[|BC| = \\sqrt{(9-9)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{36} = 6\\]

\n

Kąt \\(ABC\\) - wektory \\(\\vec{BA} = [-6, 0]\\) i \\(\\vec{BC} = [0, 6]\\) są prostopadłe ✓

\n

Kwadrat \\(ABCD\\): \\(A=(3,2)\\), \\(B=(9,2)\\), \\(C=(9,8)\\), \\(D=(3,8)\\) - pełna weryfikacja przeszła. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - wzór na środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyty bezpośrednio w Sposobie 1 - środek \\(O\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\).

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyty w Sposobie 2 do weryfikacji długości boków.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - mylenie środka okręgu opisanego z wierzchołkiem B lub D. Pamiętaj: \\(O\\) leży na przekątnej AC, nie na boku kwadratu!
\n
⚠️ Uwaga: Ktoś może wziąć \\(O\\) jako punkt symetrii względem jednego boku, a nie środek przekątnej - to błąd. W kwadracie środek okręgu opisanego = środek obu przekątnych jednocześnie.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź kolejność wierzchołków! \\(A\\) i \\(C\\) są przeciwległe (tzn. na tej samej przekątnej), a nie sąsiednie - gdyby były sąsiednie, \\(O\\) byłoby środkiem boku, co jest nonsensem dla kwadratu.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(C = (9, 8)\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Kwadrat ABCD z \\(A = (3, 2)\\) i \\(C\\) naprzeciwko. Punkt \\(O = (6, 5)\\) jest środkiem okręgu opisanego na kwadracie.

\n

Środek okręgu opisanego na kwadracie jest punktem przecięcia przekątnych, więc \\(O\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\).

\n

Z wzoru na środek odcinka:
\\[O = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\; \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]

\n

Stąd:
\\[x_C = 2 \\cdot 6 - 3 = 9\\]
\\[y_C = 2 \\cdot 5 - 2 = 8\\]

\n

\\[C = (9, 8)\\]

\n

Wzory CKE: Geometria analityczna (s. 22): środek odcinka \\(x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}\\), \\(y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\).

"}]}