{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nOkrąg opisany równaniem (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\nx\ny\nr\njest styczny do osi Oy. Promień r tego\nokręgu jest równy\nA.\n13\nB.\n5\nC. 3\nD. 2","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C. \\(r = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Odległość środka od osi \\(Oy\\)\n\nOkrąg opisany równaniem \\((x-3)^2 + (y+2)^2 = r^2\\) ma środek \\(S = (3, -2)\\) i promień \\(r\\).\n\n**Warunek styczności do osi \\(Oy\\):** okrąg jest styczny do prostej \\(x = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka od tej prostej jest równa promieniowi.\n\nOdległość punktu \\((3, -2)\\) od osi \\(Oy\\) (czyli od prostej \\(x = 0\\)):\n\\[d = |x_S| = |3| = 3\\]\n\n**Z warunku styczności:**\n\\[r = d = 3\\]\n\n## Sposób 2 - Przez układ równań (punkt styczny)\n\nOś \\(Oy\\) ma równanie \\(x = 0\\). Jeśli okrąg jest styczny do osi \\(Oy\\), to istnieje dokładnie jeden punkt wspólny okręgu z prostą \\(x = 0\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 0\\) do równania okręgu:\n\\[(0-3)^2 + (y+2)^2 = r^2\\]\n\\[9 + (y+2)^2 = r^2\\]\n\\[(y+2)^2 = r^2 - 9\\]\n\nAby prosta była **styczna** (a nie sieczna ani rozłączna), układ musi mieć **dokładnie jedno rozwiązanie**. Oznacza to:\n\\[r^2 - 9 = 0 \\implies r^2 = 9 \\implies r = 3\\]\n\n(Przy \\(r^2 - 9 = 0\\) jedynym rozwiązaniem jest \\(y = -2\\), punkt styczny to \\((0, -2)\\).) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień.\n\nUżyte do odczytania środka \\((3, -2)\\) wprost z równania.\n\nWzór na odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nOś \\(Oy\\): \\(x = 0\\), czyli \\(1\\cdot x + 0\\cdot y + 0 = 0\\):\n\\[d = \\frac{|1\\cdot 3 + 0 \\cdot(-2) + 0|}{\\sqrt{1^2 + 0^2}} = \\frac{3}{1} = 3\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(13\\) | Policzono \\(r^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\\) - odległość od **początku układu** zamiast od osi \\(Oy\\) |\n| B. \\(5\\) | Wzięto \\(\\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\\) bez sensu geometrycznego, ale błąd wynikający z mieszania wzorów |\n| D. \\(2\\) | Wzięto \\(|y_S| = |-2| = 2\\) - odległość środka od osi \\(Ox\\) zamiast od \\(Oy\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z równania \\((x-3)^2 + (y+2)^2 = r^2\\) środek to \\((3, -2)\\), **nie** \\((-3, 2)\\)! Znak w równaniu jest zawsze **przeciwny** do współrzędnej środka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość od osi \\(Oy\\) to \\(|x_S|\\), a od osi \\(Ox\\) to \\(|y_S|\\). Mylenie tych osi to najczęstszy błąd w tym zadaniu - odpowiedź D \\((r=2)\\) jest właśnie wynikiem tej pomyłki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(13\\) (odpowiedź A) to \\(r^2\\), nie \\(r\\) - uważaj, żeby nie zapomnieć wyciągnąć pierwiastka, gdyby zadanie wymagało rachunku przez odległość od punktu \\((0,0)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(r = 3\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nOkrąg: \\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2\\) ma środek \\(S = (3, -2)\\) i promień \\(r\\).\n\nOkrąg jest styczny do osi \\(Oy\\), więc odległość środka od osi \\(Oy\\) jest równa promieniowi:\n\\[r = |x_S| = |3| = 3\\]\n\n**Wzory CKE**: Geometria analityczna (s. 24-25): równanie okręgu \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\), odległość punktu od prostej.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. \\(\\sqrt{13}\\) - to odległość środka od początku układu, nie od osi.\n- B. \\(5\\) - brak uzasadnienia geometrycznego.\n- D. \\(2\\) - to wartość bezwzględna współrzędnej \\(y\\) środka, czyli odległość od osi \\(Ox\\), nie \\(Oy\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 19. (1 pkt)
Okrąg opisany równaniem (
)
(
)
2
2
2
3
2
x
y
r
jest styczny do osi Oy. Promień r tego
okręgu jest równy
A.
13
B.
5
C. 3
D. 2

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C. \\(r = 3\\)

\n

Sposób 1 - Odległość środka od osi \\(Oy\\)

\n

Okrąg opisany równaniem \\((x-3)^2 + (y+2)^2 = r^2\\) ma środek \\(S = (3, -2)\\) i promień \\(r\\).

\n

Warunek styczności do osi \\(Oy\\): okrąg jest styczny do prostej \\(x = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka od tej prostej jest równa promieniowi.

\n

Odległość punktu \\((3, -2)\\) od osi \\(Oy\\) (czyli od prostej \\(x = 0\\)):
\\[d = |x_S| = |3| = 3\\]

\n

Z warunku styczności:
\\[r = d = 3\\]

\n

Sposób 2 - Przez układ równań (punkt styczny)

\n

Oś \\(Oy\\) ma równanie \\(x = 0\\). Jeśli okrąg jest styczny do osi \\(Oy\\), to istnieje dokładnie jeden punkt wspólny okręgu z prostą \\(x = 0\\).

\n

Podstawiamy \\(x = 0\\) do równania okręgu:
\\[(0-3)^2 + (y+2)^2 = r^2\\]
\\[9 + (y+2)^2 = r^2\\]
\\[(y+2)^2 = r^2 - 9\\]

\n

Aby prosta była styczna (a nie sieczna ani rozłączna), układ musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Oznacza to:
\\[r^2 - 9 = 0 \\implies r^2 = 9 \\implies r = 3\\]

\n

(Przy \\(r^2 - 9 = 0\\) jedynym rozwiązaniem jest \\(y = -2\\), punkt styczny to \\((0, -2)\\).) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie okręgu w postaci kanonicznej:
\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]
gdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień.

\n

Użyte do odczytania środka \\((3, -2)\\) wprost z równania.

\n

Wzór na odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):
\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]

\n

Oś \\(Oy\\): \\(x = 0\\), czyli \\(1\\cdot x + 0\\cdot y + 0 = 0\\):
\\[d = \\frac{|1\\cdot 3 + 0 \\cdot(-2) + 0|}{\\sqrt{1^2 + 0^2}} = \\frac{3}{1} = 3\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(13\\) | Policzono \\(r^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\\) - odległość od początku układu zamiast od osi \\(Oy\\) |
| B. \\(5\\) | Wzięto \\(\\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\\) bez sensu geometrycznego, ale błąd wynikający z mieszania wzorów |
| D. \\(2\\) | Wzięto \\(|y_S| = |-2| = 2\\) - odległość środka od osi \\(Ox\\) zamiast od \\(Oy\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Z równania \\((x-3)^2 + (y+2)^2 = r^2\\) środek to \\((3, -2)\\), nie \\((-3, 2)\\)! Znak w równaniu jest zawsze przeciwny do współrzędnej środka.
\n
⚠️ Uwaga: Odległość od osi \\(Oy\\) to \\(|x_S|\\), a od osi \\(Ox\\) to \\(|y_S|\\). Mylenie tych osi to najczęstszy błąd w tym zadaniu - odpowiedź D \\((r=2)\\) jest właśnie wynikiem tej pomyłki.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(13\\) (odpowiedź A) to \\(r^2\\), nie \\(r\\) - uważaj, żeby nie zapomnieć wyciągnąć pierwiastka, gdyby zadanie wymagało rachunku przez odległość od punktu \\((0,0)\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C - \\(r = 3\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Okrąg: \\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2\\) ma środek \\(S = (3, -2)\\) i promień \\(r\\).

\n

Okrąg jest styczny do osi \\(Oy\\), więc odległość środka od osi \\(Oy\\) jest równa promieniowi:
\\[r = |x_S| = |3| = 3\\]

\n

Wzory CKE: Geometria analityczna (s. 24-25): równanie okręgu \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\), odległość punktu od prostej.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n"}]}