{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nCenę pewnego towaru obniżano dwukrotnie, za każdym razem o 20% . Takie dwie obniżki\nceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną obniżką\nA. o 40% .\nB. o 36%.\nC. o 32%.\nD. o 28% .","answer":"B","answer_text":")(\nx\n1\n)\n0\n. Stąd (\n2 2\nx\n3\n)(\n2 2\nx\n3\n)(\nx\n1\n)\n0\n, czyli\nx\n6\nlub\nx\n6\nlub","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (obniżka o 36%)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie współczynników obniżki\n\n**Idea:** Każda obniżka o 20% oznacza, że zostawiamy 80% ceny. Po dwóch takich obniżkach zostaje nam:\n\n\\[0{,}80 \\times 0{,}80 = 0{,}64\\]\n\nceny pierwotnej.\n\n**Skąd to wynika krok po kroku:**\n\nNiech cena początkowa = \\(C\\).\n\nPo pierwszej obniżce o 20%:\n\\[C_1 = C \\cdot \\left(1 - \\frac{20}{100}\\right) = C \\cdot 0{,}80\\]\n\nPo drugiej obniżce o 20% (od nowej ceny \\(C_1\\)):\n\\[C_2 = C_1 \\cdot 0{,}80 = C \\cdot 0{,}80 \\cdot 0{,}80 = C \\cdot 0{,}64\\]\n\nCena końcowa stanowi **64% ceny pierwotnej**, więc obniżka wynosi:\n\\[1 - 0{,}64 = 0{,}36 = 36\\%\\]\n\n**Odpowiedź: dwie obniżki o 20% są równoważne jednej obniżce o 36%.**\n\n## Sposób 2 - Wzór na złożone obniżki (weryfikacja na konkretnej kwocie)\n\nWeźmy cenę \\(C = 100\\) zł (wygodna liczba).\n\n**Po pierwszej obniżce o 20%:**\n\\[100 - 20\\% \\cdot 100 = 100 - 20 = 80 \\text{ zł}\\]\n\n**Po drugiej obniżce o 20% (od 80 zł):**\n\\[80 - 20\\% \\cdot 80 = 80 - 16 = 64 \\text{ zł}\\]\n\nCena spadła ze 100 zł do 64 zł, czyli o:\n\\[100 - 64 = 36 \\text{ zł}\\]\n\nProcentowo:\n\\[\\frac{36}{100} \\cdot 100\\% = 36\\%\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie procentów i działania arytmetyczne. Warto jednak znać ogólny wzór na złożone obniżki:\n\nJeśli cenę obniżamy \\(n\\) razy o \\(p\\%\\), całkowita obniżka wynosi:\n\\[1 - \\left(1 - \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nDla \\(n = 2\\), \\(p = 20\\):\n\\[1 - \\left(\\frac{80}{100}\\right)^2 = 1 - 0{,}64 = 0{,}36 = 36\\%\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | **Dodawanie zamiast mnożenia:** \\(20\\% + 20\\% = 40\\%\\). To błąd - druga obniżka dotyczy już **obniżonej** ceny, nie pierwotnej. |\n| C | Typowy błąd szacunkowy - \"intuicyjnie między 36 a 40\", ale bez obliczeń. Nie odpowiada żadnej prostej pomyłce. |\n| D | Brak uzasadnienia liczbowego - zbyt niska wartość, wynikająca z niepoprawnego rozumowania. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to dodanie dwóch obniżek: \\(20\\% + 20\\% = 40\\%\\). To **nieprawidłowe** - druga obniżka liczy się od już obniżonej ceny, a nie od ceny oryginalnej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obniżki procentowe **nie dodają się**, lecz **mnożą współczynniki.** Ogólnie: dwie obniżki o \\(p\\%\\) każda dają łączną obniżkę mniejszą niż \\(2p\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z procentami zawsze sprawdź, **od czego** liczy się każdy kolejny procent - od ceny pierwotnej czy od aktualnej. Tu każda obniżka to 20% ceny **po poprzedniej obniżce**.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - zmniejszy się o 4%.\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nPole początkowe: \\(P_0 = 40 \\cdot 100 = 4000 \\text{ cm}^2\\)\n\nPo przekształceniach:\n- Dłuższe boki (100 cm) wydłużamy o 20%: \\(100 \\cdot 1{,}2 = 120 \\text{ cm}\\)\n- Krótsze boki (40 cm) skracamy o 20%: \\(40 \\cdot 0{,}8 = 32 \\text{ cm}\\)\n\nNowe pole: \\(P_1 = 32 \\cdot 120 = 3840 \\text{ cm}^2\\)\n\nZmiana: \\(\\frac{P_1 - P_0}{P_0} = \\frac{3840 - 4000}{4000} = \\frac{-160}{4000} = -0{,}04 = -4\\%\\)\n\n**Uwaga ogólna**: Przy zwiększeniu jednego wymiaru o \\(p\\%\\) i zmniejszeniu drugiego o \\(p\\%\\) pole zmienia się o \\(-\\left(\\frac{p}{100}\\right)^2 \\cdot 100\\%\\). Tutaj: \\(-\\left(\\frac{20}{100}\\right)^2 \\cdot 100\\% = -4\\%\\).\n\n**Wzory CKE**: Procenty, pole prostokąta (Planimetria, s. 20).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. +8% - pomylenie znaku i wartości.\n- B. +4% - pole się zmniejsza, nie zwiększa.\n- C. -8% - za duża zmiana; 8% wynikałoby z podwojenia efektu.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 2. (1 pkt)<br>Cenę pewnego towaru obniżano dwukrotnie, za każdym razem o 20% . Takie dwie obniżki<br>ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną obniżką<br>A. o 40% .<br>B. o 36%.<br>C. o 32%.<br>D. o 28% .</p>","answer_text_html":"<p>)(<br>x<br>1<br>)<br>0<br>. Stąd (<br>2 2<br>x<br>3<br>)(<br>2 2<br>x<br>3<br>)(<br>x<br>1<br>)<br>0<br>, czyli<br>x<br>6<br>lub<br>x<br>6<br>lub</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (obniżka o 36%)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Mnożenie współczynników obniżki</h4>\n<p><strong>Idea:</strong> Każda obniżka o 20% oznacza, że zostawiamy 80% ceny. Po dwóch takich obniżkach zostaje nam:</p>\n<p>\\[0{,}80 \\times 0{,}80 = 0{,}64\\]</p>\n<p>ceny pierwotnej.</p>\n<p><strong>Skąd to wynika krok po kroku:</strong></p>\n<p>Niech cena początkowa = \\(C\\).</p>\n<p>Po pierwszej obniżce o 20%:<br>\\[C_1 = C \\cdot \\left(1 - \\frac{20}{100}\\right) = C \\cdot 0{,}80\\]</p>\n<p>Po drugiej obniżce o 20% (od nowej ceny \\(C_1\\)):<br>\\[C_2 = C_1 \\cdot 0{,}80 = C \\cdot 0{,}80 \\cdot 0{,}80 = C \\cdot 0{,}64\\]</p>\n<p>Cena końcowa stanowi <strong>64% ceny pierwotnej</strong>, więc obniżka wynosi:<br>\\[1 - 0{,}64 = 0{,}36 = 36\\%\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: dwie obniżki o 20% są równoważne jednej obniżce o 36%.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na złożone obniżki (weryfikacja na konkretnej kwocie)</h4>\n<p>Weźmy cenę \\(C = 100\\) zł (wygodna liczba).</p>\n<p><strong>Po pierwszej obniżce o 20%:</strong><br>\\[100 - 20\\% \\cdot 100 = 100 - 20 = 80 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Po drugiej obniżce o 20% (od 80 zł):</strong><br>\\[80 - 20\\% \\cdot 80 = 80 - 16 = 64 \\text{ zł}\\]</p>\n<p>Cena spadła ze 100 zł do 64 zł, czyli o:<br>\\[100 - 64 = 36 \\text{ zł}\\]</p>\n<p>Procentowo:<br>\\[\\frac{36}{100} \\cdot 100\\% = 36\\%\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie procentów i działania arytmetyczne. Warto jednak znać ogólny wzór na złożone obniżki:</p>\n<p>Jeśli cenę obniżamy \\(n\\) razy o \\(p\\%\\), całkowita obniżka wynosi:<br>\\[1 - \\left(1 - \\frac{p}{100}\\right)^n\\]</p>\n<p>Dla \\(n = 2\\), \\(p = 20\\):<br>\\[1 - \\left(\\frac{80}{100}\\right)^2 = 1 - 0{,}64 = 0{,}36 = 36\\%\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | <strong>Dodawanie zamiast mnożenia:</strong> \\(20\\% + 20\\% = 40\\%\\). To błąd - druga obniżka dotyczy już <strong>obniżonej</strong> ceny, nie pierwotnej. |<br>| C | Typowy błąd szacunkowy - &quot;intuicyjnie między 36 a 40&quot;, ale bez obliczeń. Nie odpowiada żadnej prostej pomyłce. |<br>| D | Brak uzasadnienia liczbowego - zbyt niska wartość, wynikająca z niepoprawnego rozumowania. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to dodanie dwóch obniżek: \\(20\\% + 20\\% = 40\\%\\). To <strong>nieprawidłowe</strong> - druga obniżka liczy się od już obniżonej ceny, a nie od ceny oryginalnej!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Obniżki procentowe <strong>nie dodają się</strong>, lecz <strong>mnożą współczynniki.</strong> Ogólnie: dwie obniżki o \\(p\\%\\) każda dają łączną obniżkę mniejszą niż \\(2p\\%\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniach z procentami zawsze sprawdź, <strong>od czego</strong> liczy się każdy kolejny procent - od ceny pierwotnej czy od aktualnej. Tu każda obniżka to 20% ceny <strong>po poprzedniej obniżce</strong>.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong> - zmniejszy się o 4%.</p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Pole początkowe: \\(P_0 = 40 \\cdot 100 = 4000 \\text{ cm}^2\\)</p>\n<p>Po przekształceniach:</p>\n<ul><li>Dłuższe boki (100 cm) wydłużamy o 20%: \\(100 \\cdot 1{,}2 = 120 \\text{ cm}\\)</li><li>Krótsze boki (40 cm) skracamy o 20%: \\(40 \\cdot 0{,}8 = 32 \\text{ cm}\\)</li></ul>\n<p>Nowe pole: \\(P_1 = 32 \\cdot 120 = 3840 \\text{ cm}^2\\)</p>\n<p>Zmiana: \\(\\frac{P_1 - P_0}{P_0} = \\frac{3840 - 4000}{4000} = \\frac{-160}{4000} = -0{,}04 = -4\\%\\)</p>\n<p><strong>Uwaga ogólna</strong>: Przy zwiększeniu jednego wymiaru o \\(p\\%\\) i zmniejszeniu drugiego o \\(p\\%\\) pole zmienia się o \\(-\\left(\\frac{p}{100}\\right)^2 \\cdot 100\\%\\). Tutaj: \\(-\\left(\\frac{20}{100}\\right)^2 \\cdot 100\\% = -4\\%\\).</p>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Procenty, pole prostokąta (Planimetria, s. 20).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</strong>:</p>\n<ul><li>A. +8% - pomylenie znaku i wartości.</li><li>B. +4% - pole się zmniejsza, nie zwiększa.</li><li>C. -8% - za duża zmiana; 8% wynikałoby z podwojenia efektu.</li></ul>"}]}