{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nKażda krawędź ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 9 (ostrosłup taki jest\nnazywany czworościanem foremnym). Wysokość tego ostrosłupa jest równa\nA. 3 6\nB. 3 3\nC. 2 6\nD. 3 2\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(H = 3\\sqrt{6}\\)\n\n## Sposób 1 - Przez promień okręgu opisanego na podstawie\n\n**Krok 1: Zidentyfikuj figury.**\n\nCzworościan foremny to ostrosłup, którego podstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a = 9\\), a krawędzie boczne (od wierzchołka do każdego wierzchołka podstawy) też mają długość \\(9\\).\n\nWysokość ostrosłupa pada na **środek okręgu opisanego na podstawie** (bo ostrosłup jest prawidłowy - wierzchołek leży pionowo nad środkiem podstawy).\n\n**Krok 2: Oblicz promień okręgu opisanego na podstawie.**\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a = 9\\). Wysokość trójkąta równobocznego:\n\\[h_{\\triangle} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nŚrodek okręgu opisanego leży w \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości trójkąta, więc promień opisany:\n\\[R = \\frac{2}{3} \\cdot h_{\\triangle} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{9\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym: wierzchołek - środek podstawy - narożnik podstawy.**\n\nKrawędź boczna \\(= 9\\), jeden ramię to \\(R = 3\\sqrt{3}\\), szukamy wysokości \\(H\\):\n\\[R^2 + H^2 = a^2\\]\n\\[(3\\sqrt{3})^2 + H^2 = 9^2\\]\n\\[27 + H^2 = 81\\]\n\\[H^2 = 54\\]\n\\[\\boxed{H = \\sqrt{54} = 3\\sqrt{6}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzorem bezpośrednim dla czworościanu foremnego\n\nDla czworościanu foremnego (wszystkie krawędzie równe \\(a\\)) można wyprowadzić wzór ogólny.\n\nZ Sposobu 1 wynika, że zawsze:\n\\[H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \\frac{a^2}{3} = a^2 \\cdot \\frac{2}{3}\\]\n\\[H = a\\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{a\\sqrt{6}}{3}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 9\\):\n\\[H = \\frac{9\\sqrt{6}}{3} = 3\\sqrt{6}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\((3\\sqrt{6})^2 + (3\\sqrt{3})^2 = 54 + 27 = 81 = 9^2\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - własności trójkąta równobocznego:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad R = \\frac{2h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wysokość ostrosłupa prawidłowego: wierzchołek rzutuje się na środek podstawy, więc do obliczenia \\(H\\) stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[H^2 + R^2 = l^2\\]\ngdzie \\(l\\) to krawędź boczna, \\(R\\) to promień okręgu opisanego na podstawie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić promienia okręgu **opisanego** (\\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\)) z promieniem **wpisanego** (\\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\)). Wierzchołek ostrosłupa prawidłowego leży nad środkiem okręgu **opisanego** na podstawie, nie wpisanego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wysokość trójkąta podstawy z wysokością ostrosłupa - to dwie różne wysokości! Wysokość trójkąta \\(\\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\) służy tylko do wyznaczenia \\(R\\), a potem osobno liczymy \\(H\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{54} = \\sqrt{9 \\cdot 6} = 3\\sqrt{6}\\) - zawsze upraszczaj pierwiastek do postaci \\(a\\sqrt{b}\\), gdzie \\(b\\) nie ma czynnika kwadratowego. Odpowiedź \\(\\sqrt{54}\\) jest poprawna, ale nieuproszczona.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(h = 3\\sqrt{6}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nCzworościan foremny (ostrosłup prawidłowy trójkątny) o krawędzi \\(a = 9\\).\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku 9. Środek ciężkości podstawy leży w odległości \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości trójkąta od wierzchołka:\n\nWysokość trójkąta: \\(h_{\\triangle} = \\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\)\n\nOdległość od środka ciężkości do wierzchołka: \\(R = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{9\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (krawędź boczna, promień, wysokość):\n\\[a^2 = R^2 + h^2\\]\n\\[81 = (3\\sqrt{3})^2 + h^2\\]\n\\[81 = 27 + h^2\\]\n\\[h^2 = 54\\]\n\\[h = \\sqrt{54} = 3\\sqrt{6}\\]\n\n**Wzory CKE**: Trójkąt równoboczny (s. 16): \\(R = \\frac{2h}{3}\\), tw. Pitagorasa (s. 15).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Każda krawędź ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 9 (ostrosłup taki jest<br>nazywany czworościanem foremnym). Wysokość tego ostrosłupa jest równa<br>A. 3 6<br>B. 3 3<br>C. 2 6<br>D. 3 2</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(H = 3\\sqrt{6}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przez promień okręgu opisanego na podstawie</h4>\n<p><strong>Krok 1: Zidentyfikuj figury.</strong></p>\n<p>Czworościan foremny to ostrosłup, którego podstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a = 9\\), a krawędzie boczne (od wierzchołka do każdego wierzchołka podstawy) też mają długość \\(9\\).</p>\n<p>Wysokość ostrosłupa pada na <strong>środek okręgu opisanego na podstawie</strong> (bo ostrosłup jest prawidłowy - wierzchołek leży pionowo nad środkiem podstawy).</p>\n<p><strong>Krok 2: Oblicz promień okręgu opisanego na podstawie.</strong></p>\n<p>Podstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a = 9\\). Wysokość trójkąta równobocznego:<br>\\[h_{\\triangle} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>Środek okręgu opisanego leży w \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości trójkąta, więc promień opisany:<br>\\[R = \\frac{2}{3} \\cdot h_{\\triangle} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{9\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym: wierzchołek - środek podstawy - narożnik podstawy.</strong></p>\n<p>Krawędź boczna \\(= 9\\), jeden ramię to \\(R = 3\\sqrt{3}\\), szukamy wysokości \\(H\\):<br>\\[R^2 + H^2 = a^2\\]<br>\\[(3\\sqrt{3})^2 + H^2 = 9^2\\]<br>\\[27 + H^2 = 81\\]<br>\\[H^2 = 54\\]<br>\\[\\boxed{H = \\sqrt{54} = 3\\sqrt{6}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzorem bezpośrednim dla czworościanu foremnego</h4>\n<p>Dla czworościanu foremnego (wszystkie krawędzie równe \\(a\\)) można wyprowadzić wzór ogólny.</p>\n<p>Z Sposobu 1 wynika, że zawsze:<br>\\[H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \\frac{a^2}{3} = a^2 \\cdot \\frac{2}{3}\\]<br>\\[H = a\\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{a\\sqrt{6}}{3}\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a = 9\\):<br>\\[H = \\frac{9\\sqrt{6}}{3} = 3\\sqrt{6}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\((3\\sqrt{6})^2 + (3\\sqrt{3})^2 = 54 + 27 = 81 = 9^2\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - własności trójkąta równobocznego:<br>\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad R = \\frac{2h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]<br>Użyliśmy tego do wyznaczenia promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wysokość ostrosłupa prawidłowego: wierzchołek rzutuje się na środek podstawy, więc do obliczenia \\(H\\) stosujemy twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[H^2 + R^2 = l^2\\]<br>gdzie \\(l\\) to krawędź boczna, \\(R\\) to promień okręgu opisanego na podstawie.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić promienia okręgu <strong>opisanego</strong> (\\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\)) z promieniem <strong>wpisanego</strong> (\\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\)). Wierzchołek ostrosłupa prawidłowego leży nad środkiem okręgu <strong>opisanego</strong> na podstawie, nie wpisanego!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić wysokość trójkąta podstawy z wysokością ostrosłupa - to dwie różne wysokości! Wysokość trójkąta \\(\\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\) służy tylko do wyznaczenia \\(R\\), a potem osobno liczymy \\(H\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{54} = \\sqrt{9 \\cdot 6} = 3\\sqrt{6}\\) - zawsze upraszczaj pierwiastek do postaci \\(a\\sqrt{b}\\), gdzie \\(b\\) nie ma czynnika kwadratowego. Odpowiedź \\(\\sqrt{54}\\) jest poprawna, ale nieuproszczona.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(h = 3\\sqrt{6}\\)</strong></p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Czworościan foremny (ostrosłup prawidłowy trójkątny) o krawędzi \\(a = 9\\).</p>\n<p>Podstawa to trójkąt równoboczny o boku 9. Środek ciężkości podstawy leży w odległości \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości trójkąta od wierzchołka:</p>\n<p>Wysokość trójkąta: \\(h_{\\triangle} = \\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\)</p>\n<p>Odległość od środka ciężkości do wierzchołka: \\(R = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{9\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\)</p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa (krawędź boczna, promień, wysokość):<br>\\[a^2 = R^2 + h^2\\]<br>\\[81 = (3\\sqrt{3})^2 + h^2\\]<br>\\[81 = 27 + h^2\\]<br>\\[h^2 = 54\\]<br>\\[h = \\sqrt{54} = 3\\sqrt{6}\\]</p>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Trójkąt równoboczny (s. 16): \\(R = \\frac{2h}{3}\\), tw. Pitagorasa (s. 15).</p>"}]}