{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nDane są punkty\n(\n)\n2, 3\nA =\noraz\n(\n)\n6,\n3\nB = -\n. Promień okręgu wpisanego w trójkąt\nrównoboczny ABC jest równy\nA. 20 3\n3\nB.\n40 3\n3\nC. 5 3\n3\nD. 10 3\n3","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość boku trójkąta równobocznego.**\n\nBok trójkąta to odcinek \\(AB\\). Korzystamy ze wzoru na długość odcinka:\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(-6-2)^2 + (-3-3)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\nZatem bok trójkąta równobocznego wynosi \\(a = 10\\).\n\n**Krok 2: Wyznaczamy wysokość trójkąta równobocznego.**\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{10\\sqrt{3}}{2} = 5\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy promień okręgu wpisanego.**\n\nDla trójkąta równobocznego środek okręgu wpisanego dzieli wysokość w stosunku \\(1:2\\) od podstawy:\n\n\\[r = \\frac{h}{3} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{r = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}}\\)\n\n## Sposób 2 - Wzór \\(P = p \\cdot r\\) (pole przez półobwód)\n\n**Krok 1: Bok trójkąta** (tak samo jak wyżej) - \\(a = 10\\).\n\n**Krok 2: Pole trójkąta równobocznego.**\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{100\\sqrt{3}}{4} = 25\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Półobwód trójkąta.**\n\n\\[p = \\frac{3a}{2} = \\frac{3 \\cdot 10}{2} = 15\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy \\(r\\) ze wzoru \\(P = p \\cdot r\\).**\n\n\\[r = \\frac{P}{p} = \\frac{25\\sqrt{3}}{15} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy w obu metodach do wyznaczenia \\(a = 10\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 15-16)**:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}, \\qquad R = \\frac{2h}{3}\\]\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nWzór na \\(r = h/3\\) użyty wprost w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria - okrąg wpisany, s. 15)**:\n\\[P = p \\cdot r\\]\ngdzie \\(p\\) to półobwód. Użyliśmy w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie NIE wymaga wyznaczenia punktu \\(C\\)! Wystarczy znać bok trójkąta - a bok jest dany wprost jako \\(|AB|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(r = \\frac{h}{3}\\) z \\(R = \\frac{2h}{3}\\) - promień okręgu **wpisanego** to \\(\\frac{1}{3}\\) wysokości, a **opisanego** to \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\(|AB|\\) pamiętaj o znakach: \\((-6-2)^2 = (-8)^2 = 64\\), nie \\(4^2\\)! Upewnij się, że odejmujesz współrzędne w odpowiedniej kolejności (i tak wyjdzie to samo, bo kwadrat niweluje znak).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(\\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nObliczamy długość boku \\(AB\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(2-(-6))^2 + (3-(-3))^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\nTrójkąt równoboczny \\(ABC\\) ma bok \\(a = 10\\).\n\nPromień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:\n\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{10\\sqrt{3}}{6} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nAlternatywnie: \\(r = \\frac{h}{3} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{10\\sqrt{3}}{2} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\)\n\n**Wzory CKE**: Trójkąt równoboczny (s. 16): \\(r = \\frac{h}{3}\\), \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\); odległość między punktami (s. 22).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. \\(\\frac{20\\sqrt{3}}{3}\\) - to 4-krotność prawidłowej wartości.\n- B. \\(\\frac{40\\sqrt{3}}{3}\\) - za duża wartość.\n- D. \\(\\frac{10\\sqrt{3}}{3}\\) - to promień okręgu opisanego \\(R = \\frac{2h}{3}\\), nie wpisanego.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
Dane są punkty
(
)
2, 3
A =
oraz
(
)
6,
3
B = -
. Promień okręgu wpisanego w trójkąt
równoboczny ABC jest równy
A. 20 3
3
B.
40 3
3
C. 5 3
3
D. 10 3
3

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(r = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny

\n

Krok 1: Wyznaczamy długość boku trójkąta równobocznego.

\n

Bok trójkąta to odcinek \\(AB\\). Korzystamy ze wzoru na długość odcinka:

\n

\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(-6-2)^2 + (-3-3)^2}\\]
\\[= \\sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]

\n

Zatem bok trójkąta równobocznego wynosi \\(a = 10\\).

\n

Krok 2: Wyznaczamy wysokość trójkąta równobocznego.

\n

\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{10\\sqrt{3}}{2} = 5\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 3: Wyznaczamy promień okręgu wpisanego.

\n

Dla trójkąta równobocznego środek okręgu wpisanego dzieli wysokość w stosunku \\(1:2\\) od podstawy:

\n

\\[r = \\frac{h}{3} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Wynik: \\(\\boxed{r = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}}\\)

\n

Sposób 2 - Wzór \\(P = p \\cdot r\\) (pole przez półobwód)

\n

Krok 1: Bok trójkąta (tak samo jak wyżej) - \\(a = 10\\).

\n

Krok 2: Pole trójkąta równobocznego.

\n

\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{100\\sqrt{3}}{4} = 25\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 3: Półobwód trójkąta.

\n

\\[p = \\frac{3a}{2} = \\frac{3 \\cdot 10}{2} = 15\\]

\n

Krok 4: Wyznaczamy \\(r\\) ze wzoru \\(P = p \\cdot r\\).

\n

\\[r = \\frac{P}{p} = \\frac{25\\sqrt{3}}{15} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23) - wzór na długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy w obu metodach do wyznaczenia \\(a = 10\\).

\n

Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 15-16):
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}, \\qquad R = \\frac{2h}{3}\\]
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Wzór na \\(r = h/3\\) użyty wprost w Sposobie 1.

\n

Dział 10 (Planimetria - okrąg wpisany, s. 15):
\\[P = p \\cdot r\\]
gdzie \\(p\\) to półobwód. Użyliśmy w Sposobie 2.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: To zadanie NIE wymaga wyznaczenia punktu \\(C\\)! Wystarczy znać bok trójkąta - a bok jest dany wprost jako \\(|AB|\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(r = \\frac{h}{3}\\) z \\(R = \\frac{2h}{3}\\) - promień okręgu wpisanego to \\(\\frac{1}{3}\\) wysokości, a opisanego to \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości.
\n
⚠️ Uwaga: Przy liczeniu \\(|AB|\\) pamiętaj o znakach: \\((-6-2)^2 = (-8)^2 = 64\\), nie \\(4^2\\)! Upewnij się, że odejmujesz współrzędne w odpowiedniej kolejności (i tak wyjdzie to samo, bo kwadrat niweluje znak).
\n

Poprawna odpowiedź: C - \\(\\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Obliczamy długość boku \\(AB\\):
\\[|AB| = \\sqrt{(2-(-6))^2 + (3-(-3))^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]

\n

Trójkąt równoboczny \\(ABC\\) ma bok \\(a = 10\\).

\n

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:
\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{10\\sqrt{3}}{6} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Alternatywnie: \\(r = \\frac{h}{3} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{10\\sqrt{3}}{2} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\)

\n

Wzory CKE: Trójkąt równoboczny (s. 16): \\(r = \\frac{h}{3}\\), \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\); odległość między punktami (s. 22).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n"}]}