{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 36, a miara kąta\nnachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równa 30°.\nWysokość tego graniastosłupa jest równa\nA. 3 2\nB. 6 2\nC. 2 6\nD. 3 6","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(2\\sqrt{6}\\)\n\nBok podstawy \\(a=\\sqrt{36}=6\\), przekątna podstawy \\(=a\\sqrt{2}=6\\sqrt{2}\\). Wysokość \\(h=6\\sqrt{2}\\cdot\\mathrm{tg}\\,30^\\circ=6\\sqrt{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}=2\\sqrt{6}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(h = 2\\sqrt{6}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nGraniastosłup prawidłowy czworokątny (podstawa - kwadrat).\n\nPole podstawy: \\(P_p = 36\\), więc bok \\(a = 6\\).\n\nPrzekątna podstawy: \\(d = a\\sqrt{2} = 6\\sqrt{2}\\)\n\nPrzekątna graniastosłupa łączy przeciwległe wierzchołki. Jej rzut na podstawę to przekątna podstawy \\(d = 6\\sqrt{2}\\).\n\nKąt nachylenia przekątnej do podstawy wynosi \\(30°\\):\n\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{h}{d} = \\frac{h}{6\\sqrt{2}}\\]\n\\[\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{h}{6\\sqrt{2}}\\]\n\\[h = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = 6\\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{6\\sqrt{6}}{3} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Wzory CKE**: Stereometria - graniastosłup (s. 26), trygonometria (s. 11).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 36, a miara kąta<br>nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równa 30°.<br>Wysokość tego graniastosłupa jest równa<br>A. 3 2<br>B. 6 2<br>C. 2 6<br>D. 3 6</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(2\\sqrt{6}\\)</h4>\n<p>Bok podstawy \\(a=\\sqrt{36}=6\\), przekątna podstawy \\(=a\\sqrt{2}=6\\sqrt{2}\\). Wysokość \\(h=6\\sqrt{2}\\cdot\\mathrm{tg}\\,30^\\circ=6\\sqrt{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}=2\\sqrt{6}\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(h = 2\\sqrt{6}\\)</strong></p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Graniastosłup prawidłowy czworokątny (podstawa - kwadrat).</p>\n<p>Pole podstawy: \\(P_p = 36\\), więc bok \\(a = 6\\).</p>\n<p>Przekątna podstawy: \\(d = a\\sqrt{2} = 6\\sqrt{2}\\)</p>\n<p>Przekątna graniastosłupa łączy przeciwległe wierzchołki. Jej rzut na podstawę to przekątna podstawy \\(d = 6\\sqrt{2}\\).</p>\n<p>Kąt nachylenia przekątnej do podstawy wynosi \\(30°\\):<br>\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{h}{d} = \\frac{h}{6\\sqrt{2}}\\]<br>\\[\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{h}{6\\sqrt{2}}\\]<br>\\[h = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = 6\\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{6\\sqrt{6}}{3} = 2\\sqrt{6}\\]</p>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Stereometria - graniastosłup (s. 26), trygonometria (s. 11).</p>"}]}