{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nZe zbioru {\n}\n0, 1, 2, , 15 losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby\npierwszej jest równe\nA.\n7\n16\nB.\n3\n8\nC.\n6\n15\nD.\n7\n15","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{6}{16} = \\frac{3}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - Wypisanie liczb pierwszych i rachunek bezpośredni\n\n**Krok 1: Policz wszystkie możliwe wyniki.**\n\nZbiór \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 15\\}\\) zawiera **16 elementów** (uwaga: liczymy od 0, nie od 1!).\n\n\\[|\\Omega| = 16\\]\n\n**Krok 2: Przypomnij definicję liczby pierwszej.**\n\nLiczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie.\n\n**Krok 3: Wypisz liczby pierwsze ze zbioru.**\n\nSprawdzamy po kolei każdą liczbę:\n\n| Liczba | Pierwsza? | Uzasadnienie |\n| 0 | NIE | \\(0\\) nie jest liczbą pierwszą (ma nieskończenie wiele dzielników) |\n| 1 | NIE | \\(1\\) ma tylko jeden dzielnik - siebie |\n| 2 | **TAK** | dzielniki: 1, 2 |\n| 3 | **TAK** | dzielniki: 1, 3 |\n| 4 | NIE | \\(4 = 2 \\cdot 2\\) |\n| 5 | **TAK** | dzielniki: 1, 5 |\n| 6 | NIE | \\(6 = 2 \\cdot 3\\) |\n| 7 | **TAK** | dzielniki: 1, 7 |\n| 8 | NIE | \\(8 = 2^3\\) |\n| 9 | NIE | \\(9 = 3^2\\) |\n| 10 | NIE | \\(10 = 2 \\cdot 5\\) |\n| 11 | **TAK** | dzielniki: 1, 11 |\n| 12 | NIE | \\(12 = 2^2 \\cdot 3\\) |\n| 13 | **TAK** | dzielniki: 1, 13 |\n| 14 | NIE | \\(14 = 2 \\cdot 7\\) |\n| 15 | NIE | \\(15 = 3 \\cdot 5\\) |\n\nLiczby pierwsze: \\(\\{2, 3, 5, 7, 11, 13\\}\\) - jest ich **6**.\n\n\\[|A| = 6\\]\n\n**Krok 4: Oblicz prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{16} = \\boxed{\\frac{3}{8}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez dopełnienie\n\nPoliczmy liczby **niepierwsze** ze zbioru i sprawdzamy, czy suma się zgadza.\n\nLiczby niepierwsze w \\(\\{0, 1, \\ldots, 15\\}\\):\n\\[\\{0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15\\} \\longrightarrow \\text{10 liczb}\\]\n\nSprawdzenie:\n\\[|\\Omega| = |A| + |A'| = 6 + 10 = 16 \\checkmark\\]\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania liczby **niepierwszej**:\n\\[P(A') = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8}\\]\n\nStąd:\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{5}{8} = \\frac{3}{8} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń sprzyjających, a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników.\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.\n\nDodatkowo w Sposobie 2 skorzystaliśmy z własności:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\n(prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego), też z działu 14, s. 29.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nZadanie ma charakter otwarty (brak podanych opcji), ale typowe błędy uczniów to:\n\n| Błędny wynik | Błąd |\n| \\(\\frac{6}{15}\\) | Policzono \\(\\|\\Omega\\| = 15\\) - zapomniano o liczbie 0 (zbiór ma 16 elementów, bo liczymy od 0!) |\n| \\(\\frac{5}{16}\\) | Policzono tylko 5 liczb pierwszych - pominięto liczbę 2 albo 13 |\n| \\(\\frac{7}{16}\\) | Policzono 1 jako liczbę pierwszą (klasyczny błąd!) |\n| \\(\\frac{6}{15}\\) lub \\(\\frac{2}{5}\\) | Zaczęto zliczanie od 1, traktując \\(\\|\\Omega\\| = 15\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba **1 NIE jest liczbą pierwszą** - to jeden z najczęstszych błędów na maturze. Definicja wymaga dokładnie dwóch dzielników, a 1 ma tylko jeden.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 15\\}\\) zawiera **16 elementów**, nie 15 - zero jest pełnoprawnym elementem zbioru i wchodzi do mianownika!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba **2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą** - nie pomijaj jej podczas sprawdzania!\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(\\frac{3}{8}\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nZbiór: \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 15\\}\\) - łącznie 16 elementów.\n\nLiczby pierwsze w tym zbiorze: \\(2, 3, 5, 7, 11, 13\\) - łącznie **6** liczb.\n\n(Uwaga: 0 i 1 nie są liczbami pierwszymi!)\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[P = \\frac{6}{16} = \\frac{3}{8}\\]\n\n**Wzory CKE**: Rachunek prawdopodobieństwa (s. 29): \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. \\(\\frac{7}{16}\\) - prawdopodobnie policzono 1 jako pierwszą.\n- C. \\(\\frac{6}{15}\\) - błędna liczba elementów w zbiorze (pominięto 0).\n- D. \\(\\frac{7}{15}\\) - oba błędy naraz.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 23. (1 pkt)
Ze zbioru {
}
0, 1, 2, , 15 losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby
pierwszej jest równe
A.
7
16
B.
3
8
C.
6
15
D.
7
15

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{6}{16} = \\frac{3}{8}\\)

\n

Sposób 1 - Wypisanie liczb pierwszych i rachunek bezpośredni

\n

Krok 1: Policz wszystkie możliwe wyniki.

\n

Zbiór \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 15\\}\\) zawiera 16 elementów (uwaga: liczymy od 0, nie od 1!).

\n

\\[|\\Omega| = 16\\]

\n

Krok 2: Przypomnij definicję liczby pierwszej.

\n

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie.

\n

Krok 3: Wypisz liczby pierwsze ze zbioru.

\n

Sprawdzamy po kolei każdą liczbę:

\n

| Liczba | Pierwsza? | Uzasadnienie |
| 0 | NIE | \\(0\\) nie jest liczbą pierwszą (ma nieskończenie wiele dzielników) |
| 1 | NIE | \\(1\\) ma tylko jeden dzielnik - siebie |
| 2 | TAK | dzielniki: 1, 2 |
| 3 | TAK | dzielniki: 1, 3 |
| 4 | NIE | \\(4 = 2 \\cdot 2\\) |
| 5 | TAK | dzielniki: 1, 5 |
| 6 | NIE | \\(6 = 2 \\cdot 3\\) |
| 7 | TAK | dzielniki: 1, 7 |
| 8 | NIE | \\(8 = 2^3\\) |
| 9 | NIE | \\(9 = 3^2\\) |
| 10 | NIE | \\(10 = 2 \\cdot 5\\) |
| 11 | TAK | dzielniki: 1, 11 |
| 12 | NIE | \\(12 = 2^2 \\cdot 3\\) |
| 13 | TAK | dzielniki: 1, 13 |
| 14 | NIE | \\(14 = 2 \\cdot 7\\) |
| 15 | NIE | \\(15 = 3 \\cdot 5\\) |

\n

Liczby pierwsze: \\(\\{2, 3, 5, 7, 11, 13\\}\\) - jest ich 6.

\n

\\[|A| = 6\\]

\n

Krok 4: Oblicz prawdopodobieństwo.

\n

\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{16} = \\boxed{\\frac{3}{8}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez dopełnienie

\n

Policzmy liczby niepierwsze ze zbioru i sprawdzamy, czy suma się zgadza.

\n

Liczby niepierwsze w \\(\\{0, 1, \\ldots, 15\\}\\):
\\[\\{0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15\\} \\longrightarrow \\text{10 liczb}\\]

\n

Sprawdzenie:
\\[|\\Omega| = |A| + |A'| = 6 + 10 = 16 \\checkmark\\]

\n

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby niepierwszej:
\\[P(A') = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8}\\]

\n

Stąd:
\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{5}{8} = \\frac{3}{8} \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń sprzyjających, a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników.

\n

Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.

\n

Dodatkowo w Sposobie 2 skorzystaliśmy z własności:
\\[P(A') = 1 - P(A)\\]
(prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego), też z działu 14, s. 29.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

Zadanie ma charakter otwarty (brak podanych opcji), ale typowe błędy uczniów to:

\n

| Błędny wynik | Błąd |
| \\(\\frac{6}{15}\\) | Policzono \\(\\|\\Omega\\| = 15\\) - zapomniano o liczbie 0 (zbiór ma 16 elementów, bo liczymy od 0!) |
| \\(\\frac{5}{16}\\) | Policzono tylko 5 liczb pierwszych - pominięto liczbę 2 albo 13 |
| \\(\\frac{7}{16}\\) | Policzono 1 jako liczbę pierwszą (klasyczny błąd!) |
| \\(\\frac{6}{15}\\) lub \\(\\frac{2}{5}\\) | Zaczęto zliczanie od 1, traktując \\(\\|\\Omega\\| = 15\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Liczba 1 NIE jest liczbą pierwszą - to jeden z najczęstszych błędów na maturze. Definicja wymaga dokładnie dwóch dzielników, a 1 ma tylko jeden.
\n
⚠️ Uwaga: Zbiór \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 15\\}\\) zawiera 16 elementów, nie 15 - zero jest pełnoprawnym elementem zbioru i wchodzi do mianownika!
\n
⚠️ Uwaga: Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą - nie pomijaj jej podczas sprawdzania!
\n

Poprawna odpowiedź: B - \\(\\frac{3}{8}\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Zbiór: \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 15\\}\\) - łącznie 16 elementów.

\n

Liczby pierwsze w tym zbiorze: \\(2, 3, 5, 7, 11, 13\\) - łącznie 6 liczb.

\n

(Uwaga: 0 i 1 nie są liczbami pierwszymi!)

\n

Prawdopodobieństwo:
\\[P = \\frac{6}{16} = \\frac{3}{8}\\]

\n

Wzory CKE: Rachunek prawdopodobieństwa (s. 29): \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n"}]}