{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nMedianą zestawu danych 9,1, 4, , 7, 9\nx\njest liczba 8. Wtedy x może być równe\nA. 8\nB. 4\nC. 7\nD. 9","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nZestaw danych: \\(9,\\ 1,\\ 4,\\ x,\\ 7,\\ 9\\) - **6 liczb**. Mediana zbioru parzystej liczby danych to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości** po posortowaniu.\n\n## Sposób 1 - analiza przypadków według położenia \\(x\\)\n\nStałe liczby zestawu (bez \\(x\\)) po posortowaniu: \\(1,\\ 4,\\ 7,\\ 9,\\ 9\\).\n\nDla 6 liczb mediana \\(= \\frac{a_3 + a_4}{2}\\), gdzie \\(a_3, a_4\\) to 3. i 4. wyraz po posortowaniu.\n\nWarunek: \\(\\frac{a_3 + a_4}{2} = 8\\), czyli \\(a_3 + a_4 = 16\\).\n\nSprawdzamy, gdzie \"wpada\" \\(x\\) w posortowanym ciągu:\n\n| Przedział \\(x\\) | Posortowany zestaw | \\(a_3 + a_4\\) | Mediana |\n| \\(x \\leq 4\\) | \\(\\ldots, 1, \\ldots, 4, 7, 9, 9\\) | \\(4 + 7 = 11\\) | \\(5{,}5 \\neq 8\\) |\n| \\(4 < x < 7\\) | \\(1, 4, x, 7, 9, 9\\) | \\(x + 7\\) | \\(\\neq 8\\) (bo \\(x < 9\\)) |\n| \\(7 \\leq x < 9\\) | \\(1, 4, 7, x, 9, 9\\) | \\(7 + x = 16 \\Rightarrow x = 9\\) | sprzeczność z \\(x < 9\\) |\n| \\(x \\geq 9\\) | \\(1, 4, 7, 9, 9, x\\) lub \\(1, 4, 7, 9, x, 9\\) | \\(7 + 9 = 16\\) | \\(\\mathbf{= 8 ✓}\\) |\n\n**Wniosek:** Mediana = 8 zachodzi dla każdego \\(x \\geq 9\\). Spośród odpowiedzi tylko \\(x = 9\\) spełnia warunek.\n\n**Odpowiedź: D - \\(x = 9\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(x = 9\\):\n\n\\[\\text{Zestaw: } 9,\\ 1,\\ 4,\\ 9,\\ 7,\\ 9\\]\n\nSortujemy rosnąco:\n\n\\[1,\\ 4,\\ 7,\\ \\mathbf{9},\\ 9,\\ 9\\]\n\nMediana \\(= \\frac{7 + 9}{2} = \\frac{16}{2} = \\mathbf{8}\\ ✓\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nDla parzystej liczby danych \\(n\\) mediana to:\n\\[\\text{Me} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\\]\n\ngdzie \\(a_k\\) to \\(k\\)-ty wyraz posortowanego zestawu. Tu \\(n = 6\\), więc mediana \\(= \\frac{a_3 + a_4}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość \\(x\\) | Posortowany zestaw | Mediana | Błąd |\n| A | \\(8\\) | \\(1, 4, 7, \\mathbf{8}, 9, 9\\) | \\(\\frac{7+8}{2} = 7{,}5\\) | Uczeń \"wstawia\" medianę jako \\(x\\), zapominając o uśrednieniu dwóch środkowych |\n| B | \\(4\\) | \\(1, 4, \\mathbf{4}, 7, 9, 9\\) | \\(\\frac{4+7}{2} = 5{,}5\\) | Brak związku z medianą 8 |\n| C | \\(7\\) | \\(1, 4, \\mathbf{7}, 7, 9, 9\\) | \\(\\frac{7+7}{2} = 7\\) | Uczeń myśli, że środkowa liczba zestawu = mediana bez uśredniania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy **parzystej** liczbie danych mediana to **średnia** dwóch środkowych - nie wystarczy znaleźć jedną środkową liczbę. Tu mamy 6 danych, więc zawsze liczymy \\(\\frac{a_3 + a_4}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o **posortowaniu** zestawu przed wyznaczeniem mediany - kolejność podania danych w zadaniu nie ma znaczenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu \\(x = 9\\) to **minimalna** wartość spełniająca warunek - każde \\(x \\geq 9\\) też działa. Uczeń skuszony odpowiedzią A (\\(x = 8\\)) popełnia błąd, bo intuicyjnie \"wkłada medianę jako \\(x\\)\", nie sprawdzając rachunkiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(x = 9\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nZestaw danych: \\(9, 1, 4, x, 7, 9\\) (6 elementów). Mediana to średnia 3. i 4. elementu po uporządkowaniu.\n\nSprawdzamy \\(x = 9\\):\nPo uporządkowaniu: \\(1, 4, 7, 9, 9, 9\\)\nMediana: \\(\\frac{7 + 9}{2} = 8\\) ✓\n\nSprawdzenie pozostałych opcji:\n- A. \\(x = 8\\): \\(1, 4, 7, 8, 9, 9\\) → mediana \\(= \\frac{7+8}{2} = 7{,}5\\) ✗\n- B. \\(x = 4\\): \\(1, 4, 4, 7, 9, 9\\) → mediana \\(= \\frac{4+7}{2} = 5{,}5\\) ✗\n- C. \\(x = 7\\): \\(1, 4, 7, 7, 9, 9\\) → mediana \\(= \\frac{7+7}{2} = 7\\) ✗\n\n**Wzory CKE**: Parametry danych statystycznych (s. 31): mediana dla parzystej liczby danych.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 24. (1 pkt)
Medianą zestawu danych 9,1, 4, , 7, 9
x
jest liczba 8. Wtedy x może być równe
A. 8
B. 4
C. 7
D. 9

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Zestaw danych: \\(9,\\ 1,\\ 4,\\ x,\\ 7,\\ 9\\) - 6 liczb. Mediana zbioru parzystej liczby danych to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości po posortowaniu.

\n

Sposób 1 - analiza przypadków według położenia \\(x\\)

\n

Stałe liczby zestawu (bez \\(x\\)) po posortowaniu: \\(1,\\ 4,\\ 7,\\ 9,\\ 9\\).

\n

Dla 6 liczb mediana \\(= \\frac{a_3 + a_4}{2}\\), gdzie \\(a_3, a_4\\) to 3. i 4. wyraz po posortowaniu.

\n

Warunek: \\(\\frac{a_3 + a_4}{2} = 8\\), czyli \\(a_3 + a_4 = 16\\).

\n

Sprawdzamy, gdzie "wpada" \\(x\\) w posortowanym ciągu:

\n

| Przedział \\(x\\) | Posortowany zestaw | \\(a_3 + a_4\\) | Mediana |
| \\(x \\leq 4\\) | \\(\\ldots, 1, \\ldots, 4, 7, 9, 9\\) | \\(4 + 7 = 11\\) | \\(5{,}5 \\neq 8\\) |
| \\(4 < x < 7\\) | \\(1, 4, x, 7, 9, 9\\) | \\(x + 7\\) | \\(\\neq 8\\) (bo \\(x < 9\\)) |
| \\(7 \\leq x < 9\\) | \\(1, 4, 7, x, 9, 9\\) | \\(7 + x = 16 \\Rightarrow x = 9\\) | sprzeczność z \\(x < 9\\) |
| \\(x \\geq 9\\) | \\(1, 4, 7, 9, 9, x\\) lub \\(1, 4, 7, 9, x, 9\\) | \\(7 + 9 = 16\\) | \\(\\mathbf{= 8 ✓}\\) |

\n

Wniosek: Mediana = 8 zachodzi dla każdego \\(x \\geq 9\\). Spośród odpowiedzi tylko \\(x = 9\\) spełnia warunek.

\n

Odpowiedź: D - \\(x = 9\\)

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

\n

Podstawiamy \\(x = 9\\):

\n

\\[\\text{Zestaw: } 9,\\ 1,\\ 4,\\ 9,\\ 7,\\ 9\\]

\n

Sortujemy rosnąco:

\n

\\[1,\\ 4,\\ 7,\\ \\mathbf{9},\\ 9,\\ 9\\]

\n

Mediana \\(= \\frac{7 + 9}{2} = \\frac{16}{2} = \\mathbf{8}\\ ✓\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)

\n

Dla parzystej liczby danych \\(n\\) mediana to:
\\[\\text{Me} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\\]

\n

gdzie \\(a_k\\) to \\(k\\)-ty wyraz posortowanego zestawu. Tu \\(n = 6\\), więc mediana \\(= \\frac{a_3 + a_4}{2}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartość \\(x\\) | Posortowany zestaw | Mediana | Błąd |
| A | \\(8\\) | \\(1, 4, 7, \\mathbf{8}, 9, 9\\) | \\(\\frac{7+8}{2} = 7{,}5\\) | Uczeń "wstawia" medianę jako \\(x\\), zapominając o uśrednieniu dwóch środkowych |
| B | \\(4\\) | \\(1, 4, \\mathbf{4}, 7, 9, 9\\) | \\(\\frac{4+7}{2} = 5{,}5\\) | Brak związku z medianą 8 |
| C | \\(7\\) | \\(1, 4, \\mathbf{7}, 7, 9, 9\\) | \\(\\frac{7+7}{2} = 7\\) | Uczeń myśli, że środkowa liczba zestawu = mediana bez uśredniania |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy parzystej liczbie danych mediana to średnia dwóch środkowych - nie wystarczy znaleźć jedną środkową liczbę. Tu mamy 6 danych, więc zawsze liczymy \\(\\frac{a_3 + a_4}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o posortowaniu zestawu przed wyznaczeniem mediany - kolejność podania danych w zadaniu nie ma znaczenia!
\n
⚠️ Uwaga: W tym zadaniu \\(x = 9\\) to minimalna wartość spełniająca warunek - każde \\(x \\geq 9\\) też działa. Uczeń skuszony odpowiedzią A (\\(x = 8\\)) popełnia błąd, bo intuicyjnie "wkłada medianę jako \\(x\\)", nie sprawdzając rachunkiem.
\n

Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 9\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Zestaw danych: \\(9, 1, 4, x, 7, 9\\) (6 elementów). Mediana to średnia 3. i 4. elementu po uporządkowaniu.

\n

Sprawdzamy \\(x = 9\\):
Po uporządkowaniu: \\(1, 4, 7, 9, 9, 9\\)
Mediana: \\(\\frac{7 + 9}{2} = 8\\) ✓

\n

Sprawdzenie pozostałych opcji:

\n\n

Wzory CKE: Parametry danych statystycznych (s. 31): mediana dla parzystej liczby danych.

"}]}