{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nIle jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr\n1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być\nwykorzystane?\nA. 3\nB. 27\nC. 9\nD. 6\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B. 27\n\n## Sposób 1 - Analiza pierwszej cyfry + zasada mnożenia\n\nSzukamy liczb czterocyfrowych **większych od 3000**, złożonych wyłącznie z cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\).\n\n**Krok 1: Ustalamy, jaka może być pierwsza cyfra.**\n\nLiczba czterocyfrowa ma postać \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a \\in \\{1, 2, 3\\}\\).\n\n- Jeśli \\(a = 1\\) → liczba jest między \\(1111\\) a \\(1333\\) → **mniejsza od 3000** ✗\n- Jeśli \\(a = 2\\) → liczba jest między \\(2111\\) a \\(2333\\) → **mniejsza od 3000** ✗\n- Jeśli \\(a = 3\\) → liczba jest między \\(3111\\) a \\(3333\\) → **każda jest większa od 3000** ✓\n\n**Zatem jedyną możliwością jest \\(a = 3\\).**\n\n(Nota: liczby zaczynające się od 3 to co najmniej \\(3111 > 3000\\), więc **wszystkie** spełniają warunek. Liczby z \\(\\{1,2,3\\}\\) nie mogą zawierać cyfry 0, więc „dokładnie 3000\" nie istnieje - nie musimy wykluczać niczego.)\n\n**Krok 2: Liczymy pozostałe cyfry.**\n\nPozycje \\(b\\), \\(c\\), \\(d\\) - każda może być dowolną cyfrą z \\(\\{1, 2, 3\\}\\):\n\n\\[\n\\underbrace{1}_{a=3} \\times \\underbrace{3}_{b} \\times \\underbrace{3}_{c} \\times \\underbrace{3}_{d} = 3^3 = \\mathbf{27}\n\\]\n\n**Odpowiedź: 27 liczb.**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie wypisanie (weryfikacja)\n\nLiczby mają postać \\(3bcd\\), gdzie \\(b, c, d \\in \\{1, 2, 3\\}\\).\n\nDla każdego \\(b\\) mamy \\(3 \\times 3 = 9\\) kombinacji \\((c, d)\\):\n\n| \\(b=1\\) | \\(b=2\\) | \\(b=3\\) |\n| 3111, 3112, 3113 | 3211, 3212, 3213 | 3311, 3312, 3313 |\n| 3121, 3122, 3123 | 3221, 3222, 3223 | 3321, 3322, 3323 |\n| 3131, 3132, 3133 | 3231, 3232, 3233 | 3331, 3332, 3333 |\n\nKażda kolumna daje **9 liczb**, trzy kolumny razem: \\(3 \\times 9 = \\mathbf{27}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:\n\\[n^k\\]\nMamy \\(n = 3\\) cyfry do wyboru i \\(k = 3\\) wolne pozycje (po ustaleniu pierwszej cyfry):\n\\[3^3 = 27\\]\nTo jest właśnie wzór użyty w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (3) | Uczeń bierze pod uwagę tylko liczby \\(3111\\), \\(3222\\), \\(3333\\) - czyli myśli, że wszystkie cyfry muszą być **takie same** |\n| C (9) | Uczeń liczy tylko dwie ostatnie cyfry (\\(3^2 = 9\\)), zapominając o **trzeciej pozycji** - liczy \\(\\overline{3b \\cdot d}\\) zamiast \\(\\overline{3bcd}\\) |\n| D (6) | Uczeń zakłada, że cyfry **nie mogą się powtarzać** i liczy permutacje 3 elementów: \\(3! = 6\\) - wbrew treści zadania |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „większe od 3000\" nie oznacza, że pierwsza cyfra musi być **większa** niż 3 - wystarczy \\(a = 3\\), bo \\(3\\underbrace{bcd}_{\\geq 111} > 3000\\) zawsze (cyfry są z \\(\\{1,2,3\\}\\), więc nie ma \\(3000\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Cyfry mogą się powtarzać\" to słowo-klucz - stosujemy wariacje **z** powtórzeniami (\\(3^3\\)), NIE permutacje (\\(3!\\)). Te dwa wzory dają różne wyniki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Nie wszystkie cyfry muszą być wykorzystane\" - ten fragment tylko potwierdza, że powtórzenia są dozwolone. Nie ogranicza nam zbioru cyfr - dalej korzystamy z \\(\\{1, 2, 3\\}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - 27\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nSzukamy liczb czterocyfrowych większych od 3000, złożonych z cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\) (z powtórzeniami).\n\nAby liczba była większa od 3000, pierwsza cyfra musi być \\(\\geq 3\\). Z dostępnych cyfr jedyną możliwością jest **3**.\n\nPierwsza cyfra: 1 możliwość (cyfra 3)\nDruga cyfra: 3 możliwości (1, 2 lub 3)\nTrzecia cyfra: 3 możliwości\nCzwarta cyfra: 3 możliwości\n\nŁącznie: \\(1 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 = 27\\)\n\n**Wzory CKE**: Kombinatoryka (s. 28): reguła mnożenia, wariacje z powtórzeniami \\(n^k\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. 3 - to liczba takich liczb z jedną cyfrą wolną, np. 3XX z jedną opcją.\n- C. 9 - uwzględnia tylko 2 pozycje do wyboru.\n- D. 6 - np. permutacje 3 elementów, ale tu nie o to chodzi.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (1 pkt)<br>Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr<br>1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być<br>wykorzystane?<br>A. 3<br>B. 27<br>C. 9<br>D. 6</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B. 27</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza pierwszej cyfry + zasada mnożenia</h4>\n<p>Szukamy liczb czterocyfrowych <strong>większych od 3000</strong>, złożonych wyłącznie z cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Ustalamy, jaka może być pierwsza cyfra.</strong></p>\n<p>Liczba czterocyfrowa ma postać \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a \\in \\{1, 2, 3\\}\\).</p>\n<ul><li>Jeśli \\(a = 1\\) → liczba jest między \\(1111\\) a \\(1333\\) → <strong>mniejsza od 3000</strong> ✗</li><li>Jeśli \\(a = 2\\) → liczba jest między \\(2111\\) a \\(2333\\) → <strong>mniejsza od 3000</strong> ✗</li><li>Jeśli \\(a = 3\\) → liczba jest między \\(3111\\) a \\(3333\\) → <strong>każda jest większa od 3000</strong> ✓</li></ul>\n<p><strong>Zatem jedyną możliwością jest \\(a = 3\\).</strong></p>\n<p>(Nota: liczby zaczynające się od 3 to co najmniej \\(3111 &gt; 3000\\), więc <strong>wszystkie</strong> spełniają warunek. Liczby z \\(\\{1,2,3\\}\\) nie mogą zawierać cyfry 0, więc „dokładnie 3000&quot; nie istnieje - nie musimy wykluczać niczego.)</p>\n<p><strong>Krok 2: Liczymy pozostałe cyfry.</strong></p>\n<p>Pozycje \\(b\\), \\(c\\), \\(d\\) - każda może być dowolną cyfrą z \\(\\{1, 2, 3\\}\\):</p>\n<p>\\[<br>\\underbrace{1}<em>{a=3} \\times \\underbrace{3}</em>{b} \\times \\underbrace{3}<em>{c} \\times \\underbrace{3}</em>{d} = 3^3 = \\mathbf{27}<br>\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: 27 liczb.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednie wypisanie (weryfikacja)</h4>\n<p>Liczby mają postać \\(3bcd\\), gdzie \\(b, c, d \\in \\{1, 2, 3\\}\\).</p>\n<p>Dla każdego \\(b\\) mamy \\(3 \\times 3 = 9\\) kombinacji \\((c, d)\\):</p>\n<p>| \\(b=1\\) | \\(b=2\\) | \\(b=3\\) |<br>| 3111, 3112, 3113 | 3211, 3212, 3213 | 3311, 3312, 3313 |<br>| 3121, 3122, 3123 | 3221, 3222, 3223 | 3321, 3322, 3323 |<br>| 3131, 3132, 3133 | 3231, 3232, 3233 | 3331, 3332, 3333 |</p>\n<p>Każda kolumna daje <strong>9 liczb</strong>, trzy kolumny razem: \\(3 \\times 9 = \\mathbf{27}\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)</strong> - wariacje z powtórzeniami:<br>\\[n^k\\]<br>Mamy \\(n = 3\\) cyfry do wyboru i \\(k = 3\\) wolne pozycje (po ustaleniu pierwszej cyfry):<br>\\[3^3 = 27\\]<br>To jest właśnie wzór użyty w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (3) | Uczeń bierze pod uwagę tylko liczby \\(3111\\), \\(3222\\), \\(3333\\) - czyli myśli, że wszystkie cyfry muszą być <strong>takie same</strong> |<br>| C (9) | Uczeń liczy tylko dwie ostatnie cyfry (\\(3^2 = 9\\)), zapominając o <strong>trzeciej pozycji</strong> - liczy \\(\\overline{3b \\cdot d}\\) zamiast \\(\\overline{3bcd}\\) |<br>| D (6) | Uczeń zakłada, że cyfry <strong>nie mogą się powtarzać</strong> i liczy permutacje 3 elementów: \\(3! = 6\\) - wbrew treści zadania |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek „większe od 3000&quot; nie oznacza, że pierwsza cyfra musi być <strong>większa</strong> niż 3 - wystarczy \\(a = 3\\), bo \\(3\\underbrace{bcd}_{\\geq 111} &gt; 3000\\) zawsze (cyfry są z \\(\\{1,2,3\\}\\), więc nie ma \\(3000\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „Cyfry mogą się powtarzać&quot; to słowo-klucz - stosujemy wariacje <strong>z</strong> powtórzeniami (\\(3^3\\)), NIE permutacje (\\(3!\\)). Te dwa wzory dają różne wyniki!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „Nie wszystkie cyfry muszą być wykorzystane&quot; - ten fragment tylko potwierdza, że powtórzenia są dozwolone. Nie ogranicza nam zbioru cyfr - dalej korzystamy z \\(\\{1, 2, 3\\}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong> - 27</p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Szukamy liczb czterocyfrowych większych od 3000, złożonych z cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\) (z powtórzeniami).</p>\n<p>Aby liczba była większa od 3000, pierwsza cyfra musi być \\(\\geq 3\\). Z dostępnych cyfr jedyną możliwością jest <strong>3</strong>.</p>\n<p>Pierwsza cyfra: 1 możliwość (cyfra 3)<br>Druga cyfra: 3 możliwości (1, 2 lub 3)<br>Trzecia cyfra: 3 możliwości<br>Czwarta cyfra: 3 możliwości</p>\n<p>Łącznie: \\(1 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 = 27\\)</p>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Kombinatoryka (s. 28): reguła mnożenia, wariacje z powtórzeniami \\(n^k\\).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</strong>:</p>\n<ul><li>A. 3 - to liczba takich liczb z jedną cyfrą wolną, np. 3XX z jedną opcją.</li><li>C. 9 - uwzględnia tylko 2 pozycje do wyboru.</li><li>D. 6 - np. permutacje 3 elementów, ale tu nie o to chodzi.</li></ul>"}]}