{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n8\n8\n3\n3\n0\nx\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n8\n8\n3\n3\n0\nx\nx\nx\nI sposób rozwiązania (metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n)\n(\n)\n2\n8\n1\n3\n1\n0\nx\nx\nx\nlub\n(\n)\n2\n2\n8\n3\n8\n3\n0\nx\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n2\n8\n3\n1\n0\nx\nx\n(\n)(\n)(\n)\n2 2\n3\n2 2\n3\n1\n0\nx\nx\nx\nStąd\n6\n4\nx\nlub\n6\n4\nx\nlub\n1\nx\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: (\n)(\n)\n2\n8\n3\n1\nx\nx\n, przy czym postać ta\nmusi być otrzymana w sposób poprawny, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n6\n4\nx\nlub\n6\n4\nx\nlub\n1\nx\nII sposób rozwiązanie (metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 1\n- jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n8\n8\n3\n3\nx\nx\nx\n-. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n1\nx+ . Otrzymujemy iloraz\n2\n8\n3\nx\n. Zapisujemy równanie w postaci\n(\n)(\n)\n2\n8\n3\n1\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n2 2\n3\n2 2\n3\n1\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n6\n4\nx\nlub\n6\n4\nx\nlub\n1\nx\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy podzieli wielomian\n3\n2\n8\n8\n3\n3\nx\nx\nx\n- przez dwumian\n1\nx+ , otrzyma iloraz\n2\n8\n3\nx\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n6\n4\nx\nlub\n6\n4\nx\nlub\n1\nx\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nRównanie ma trzy rozwiązania:\n\\[x = -1, \\quad x = \\frac{\\sqrt{6}}{4}, \\quad x = -\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\n**Zauważamy**, że wielomian można podzielić na dwie pary wyrazów, z których każda ma wspólny czynnik.\n\n\\[8x^3 + 8x^2 - 3x - 3 = 0\\]\n\n**Grupujemy** pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:\n\n\\[(8x^3 + 8x^2) + (-3x - 3) = 0\\]\n\n**Wyciągamy wspólny czynnik** z każdej grupy:\n\n\\[8x^2(x + 1) - 3(x + 1) = 0\\]\n\n**Teraz widzimy wspólny czynnik** \\((x+1)\\) - wyciągamy go:\n\n\\[(x + 1)(8x^2 - 3) = 0\\]\n\n**Iloczyn jest równy zero**, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[8x^2 - 3 = 0\\]\n\\[8x^2 = 3\\]\n\\[x^2 = \\frac{3}{8}\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{\\frac{3}{8}} = \\pm\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{8}} = \\pm\\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}} = \\pm\\frac{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{2}}{2 \\cdot 2} = \\pm\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x = -1, \\quad x = \\frac{\\sqrt{6}}{4}, \\quad x = -\\frac{\\sqrt{6}}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych + dzielenie wielomianów\n\nJeśli wielomian o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek wymierny \\(\\frac{p}{q}\\) (w postaci nieskracalnej), to \\(p \\mid (-3)\\) i \\(q \\mid 8\\).\n\n**Kandydaci na pierwiastki wymierne:**\n\\[\\pm 1, \\pm 3, \\pm\\frac{1}{2}, \\pm\\frac{3}{2}, \\pm\\frac{1}{4}, \\pm\\frac{3}{4}, \\pm\\frac{1}{8}, \\pm\\frac{3}{8}\\]\n\n**Sprawdzamy \\(x = -1\\):**\n\\[8(-1)^3 + 8(-1)^2 - 3(-1) - 3 = -8 + 8 + 3 - 3 = 0 \\checkmark\\]\n\nZatem \\((x + 1)\\) jest czynnikiem. Wykonujemy **dzielenie wielomianów** (schematem Hornera):\n\n| | 8 | 8 | -3 | -3 |\n| \\(x = -1\\) | | -8 | 0 | 3 |\n| | **8** | **0** | **-3** | **0** |\n\n\\[8x^3 + 8x^2 - 3x - 3 = (x + 1)(8x^2 - 3)\\]\n\nRozwiązujemy \\(8x^2 - 3 = 0\\):\n\\[x^2 = \\frac{3}{8} \\implies x = \\pm\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]\n\n**Weryfikacja wyników - podstawiamy do oryginału:**\n\nDla \\(x = \\frac{\\sqrt{6}}{4}\\): sprawdzamy \\(8x^2 - 3 = 8 \\cdot \\frac{6}{16} - 3 = 3 - 3 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do rozwiązania \\(8x^2 - 3 = 0\\) (tu \\(b = 0\\), \\(\\Delta = 36\\), \\(a = 8\\), \\(c = -3\\)):\n\\[x_{1,2} = \\frac{0 \\pm \\sqrt{36}}{16} = \\pm\\frac{6}{16} = \\pm\\frac{3}{8}\\]\n\nUwaga: wygodniej skrócić \\(x^2 = \\frac{3}{8}\\) bezpośrednio, ale wzór na miejsca zerowe też działa.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - upraszczanie pierwiastka:\n\\[\\sqrt{\\frac{3}{8}} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{8}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]\nUżyliśmy własności \\(\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}} = \\sqrt{\\frac{a}{b}}\\) oraz rozszerzenia przez \\(\\sqrt{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Grupowanie działa tylko wtedy, gdy po wyciągnięciu czynnika z każdej pary pojawia się **ten sam dwumian** - tu \\((x+1)\\). Jeśli grupy dają różne nawiasy, trzeba szukać innego podziału.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{\\frac{3}{8}}\\) łatwo zostawić wynik w postaci \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}}\\) - egzaminator może to uznać, ale **wzorcowa postać to \\(\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\)** (bez pierwiastka w mianowniku).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie sześcienne ma **3 pierwiastki** (licząc z krotnością). Nie zatrzymuj się po znalezieniu jednego - po wyciągnięciu \\((x+1)\\) zostaje jeszcze trójmian kwadratowy do rozwiązania!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 4\\) lub \\(x = \\frac{4}{3}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nRównanie: \\(\\frac{2x-4}{x} = \\frac{x}{2x-4}\\), gdzie \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 2\\).\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[(2x-4)^2 = x^2\\]\n\nRozkładamy jako różnicę kwadratów:\n\\[(2x-4)^2 - x^2 = 0\\]\n\\[(2x-4-x)(2x-4+x) = 0\\]\n\\[(x-4)(3x-4) = 0\\]\n\nStąd:\n\\[x = 4 \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{4}{3}\\]\n\nSprawdzenie dziedziny: \\(x = 4 \\neq 0, 2\\) ✓ oraz \\(x = \\frac{4}{3} \\neq 0, 2\\) ✓\n\nSprawdzenie \\(x = 4\\): \\(\\frac{4}{4} = \\frac{4}{4}\\), czyli \\(1 = 1\\) ✓\n\nSprawdzenie \\(x = \\frac{4}{3}\\): \\(\\frac{\\frac{8}{3}-4}{\\frac{4}{3}} = \\frac{-\\frac{4}{3}}{\\frac{4}{3}} = -1\\) oraz \\(\\frac{\\frac{4}{3}}{\\frac{8}{3}-4} = \\frac{\\frac{4}{3}}{-\\frac{4}{3}} = -1\\) ✓\n\n**Wzory CKE**: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
8
8
3
3
0
x
x
x

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
8
8
3
3
0
x
x
x
I sposób rozwiązania (metoda grupowania)
Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania
wyrazów
(
)
(
)
2
8
1
3
1
0
x
x
x
lub
(
)
2
2
8
3
8
3
0
x
x
x
,
(
)(
)
2
8
3
1
0
x
x
(
)(
)(
)
2 2
3
2 2
3
1
0
x
x
x
Stąd
6
4
x
lub
6
4
x
lub
1
x
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: (
)(
)
2
8
3
1
x
x
, przy czym postać ta
musi być otrzymana w sposób poprawny, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
6
4
x
lub
6
4
x
lub
1
x
II sposób rozwiązanie (metoda dzielenia)
Stwierdzamy, że liczba 1

\n\n

3
2
8
8
3
3
x
x
x
-. Dzielimy
wielomian przez dwumian
1
x+ . Otrzymujemy iloraz
2
8
3
x
. Zapisujemy równanie w postaci
(
)(
)
2
8
3
1
0
x
x
. Stąd (
)(
)(
)
2 2
3
2 2
3
1
0
x
x
x
, czyli
6
4
x
lub
6
4
x
lub
1
x
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy podzieli wielomian
3
2
8
8
3
3
x
x
x

\n\n

1
x+ , otrzyma iloraz
2
8
3
x
i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
6
4
x
lub
6
4
x
lub
1
x
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
3

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Równanie ma trzy rozwiązania:
\\[x = -1, \\quad x = \\frac{\\sqrt{6}}{4}, \\quad x = -\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]

\n

Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)

\n

Zauważamy, że wielomian można podzielić na dwie pary wyrazów, z których każda ma wspólny czynnik.

\n

\\[8x^3 + 8x^2 - 3x - 3 = 0\\]

\n

Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:

\n

\\[(8x^3 + 8x^2) + (-3x - 3) = 0\\]

\n

Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:

\n

\\[8x^2(x + 1) - 3(x + 1) = 0\\]

\n

Teraz widzimy wspólny czynnik \\((x+1)\\) - wyciągamy go:

\n

\\[(x + 1)(8x^2 - 3) = 0\\]

\n

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem:

\n

Czynnik 1:
\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]

\n

Czynnik 2:
\\[8x^2 - 3 = 0\\]
\\[8x^2 = 3\\]
\\[x^2 = \\frac{3}{8}\\]
\\[x = \\pm\\sqrt{\\frac{3}{8}} = \\pm\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{8}} = \\pm\\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}} = \\pm\\frac{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{2}}{2 \\cdot 2} = \\pm\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]

\n

Odpowiedź:
\\[\\boxed{x = -1, \\quad x = \\frac{\\sqrt{6}}{4}, \\quad x = -\\frac{\\sqrt{6}}{4}}\\]

\n

Sposób 2 - Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych + dzielenie wielomianów

\n

Jeśli wielomian o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek wymierny \\(\\frac{p}{q}\\) (w postaci nieskracalnej), to \\(p \\mid (-3)\\) i \\(q \\mid 8\\).

\n

Kandydaci na pierwiastki wymierne:
\\[\\pm 1, \\pm 3, \\pm\\frac{1}{2}, \\pm\\frac{3}{2}, \\pm\\frac{1}{4}, \\pm\\frac{3}{4}, \\pm\\frac{1}{8}, \\pm\\frac{3}{8}\\]

\n

Sprawdzamy \\(x = -1\\):
\\[8(-1)^3 + 8(-1)^2 - 3(-1) - 3 = -8 + 8 + 3 - 3 = 0 \\checkmark\\]

\n

Zatem \\((x + 1)\\) jest czynnikiem. Wykonujemy dzielenie wielomianów (schematem Hornera):

\n

| | 8 | 8 | -3 | -3 |
| \\(x = -1\\) | | -8 | 0 | 3 |
| | 8 | 0 | -3 | 0 |

\n

\\[8x^3 + 8x^2 - 3x - 3 = (x + 1)(8x^2 - 3)\\]

\n

Rozwiązujemy \\(8x^2 - 3 = 0\\):
\\[x^2 = \\frac{3}{8} \\implies x = \\pm\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]

\n

Weryfikacja wyników - podstawiamy do oryginału:

\n

Dla \\(x = \\frac{\\sqrt{6}}{4}\\): sprawdzamy \\(8x^2 - 3 = 8 \\cdot \\frac{6}{16} - 3 = 3 - 3 = 0\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - miejsca zerowe trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy tego do rozwiązania \\(8x^2 - 3 = 0\\) (tu \\(b = 0\\), \\(\\Delta = 36\\), \\(a = 8\\), \\(c = -3\\)):
\\[x_{1,2} = \\frac{0 \\pm \\sqrt{36}}{16} = \\pm\\frac{6}{16} = \\pm\\frac{3}{8}\\]

\n

Uwaga: wygodniej skrócić \\(x^2 = \\frac{3}{8}\\) bezpośrednio, ale wzór na miejsca zerowe też działa.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - upraszczanie pierwiastka:
\\[\\sqrt{\\frac{3}{8}} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{8}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}}{4}\\]
Użyliśmy własności \\(\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}} = \\sqrt{\\frac{a}{b}}\\) oraz rozszerzenia przez \\(\\sqrt{2}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Grupowanie działa tylko wtedy, gdy po wyciągnięciu czynnika z każdej pary pojawia się ten sam dwumian - tu \\((x+1)\\). Jeśli grupy dają różne nawiasy, trzeba szukać innego podziału.
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{\\frac{3}{8}}\\) łatwo zostawić wynik w postaci \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}}\\) - egzaminator może to uznać, ale wzorcowa postać to \\(\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\) (bez pierwiastka w mianowniku).
\n
⚠️ Uwaga: Równanie sześcienne ma 3 pierwiastki (licząc z krotnością). Nie zatrzymuj się po znalezieniu jednego - po wyciągnięciu \\((x+1)\\) zostaje jeszcze trójmian kwadratowy do rozwiązania!
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = 4\\) lub \\(x = \\frac{4}{3}\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Równanie: \\(\\frac{2x-4}{x} = \\frac{x}{2x-4}\\), gdzie \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 2\\).

\n

Mnożymy na krzyż:
\\[(2x-4)^2 = x^2\\]

\n

Rozkładamy jako różnicę kwadratów:
\\[(2x-4)^2 - x^2 = 0\\]
\\[(2x-4-x)(2x-4+x) = 0\\]
\\[(x-4)(3x-4) = 0\\]

\n

Stąd:
\\[x = 4 \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{4}{3}\\]

\n

Sprawdzenie dziedziny: \\(x = 4 \\neq 0, 2\\) ✓ oraz \\(x = \\frac{4}{3} \\neq 0, 2\\) ✓

\n

Sprawdzenie \\(x = 4\\): \\(\\frac{4}{4} = \\frac{4}{4}\\), czyli \\(1 = 1\\) ✓

\n

Sprawdzenie \\(x = \\frac{4}{3}\\): \\(\\frac{\\frac{8}{3}-4}{\\frac{4}{3}} = \\frac{-\\frac{4}{3}}{\\frac{4}{3}} = -1\\) oraz \\(\\frac{\\frac{4}{3}}{\\frac{8}{3}-4} = \\frac{\\frac{4}{3}}{-\\frac{4}{3}} = -1\\) ✓

\n

Wzory CKE: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\).

"}]}