{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n5\n45\n0\nx -\n≤\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n5\n45\n0\nx -\n≤\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania:\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n5\n45\nx\n:\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu lub zaznaczając na wykresie\n1\n3\nx\n,\n2\n3\nx\nlub (\n)(\n)\n5\n3\n3\nx\nx\nalbo\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:\n(\n)\n2\n0\n4 5\n45\n30\nΔ =\n-⋅⋅-\n,\n1\n0\n30\n3\n10\nx\n,\n2\n0\n30\n3\n10\nx\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: 3\n3\n-≤\n≤\nx\nlub\n3, 3\nlub\n3, 3\n∈-\nx\n, np. odczytując\ngo ze szkicu wykresu funkcji\n( )\n2\n5\n45\nf x\nx\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. (\n)(\n)\n5\n3\n3\nx\nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n3\nx\n,\n2\n3\nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n( )\n2\n5\n45\nf x\nx\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nalbo\n• realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rachunkowy przy\nobliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do\npopełnionego błędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: 3\n3\n-≤\n≤\nx\nlub\n3, 3\nlub\n3, 3\n∈-\nx\nalbo\n• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci: 3\n3\n-≤\n≤\nx\n-3\n3\nx\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n4\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu\n1\n3\nx\n,\n2\n3\nx\ni zapisze, np.\n3,\n3\n∈-\nx\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n3,\n3\n∈\nx\n, to przyznajemy 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 3 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie i wzór na miejsca zerowe\n\n**Krok 1: Uprość nierówność - podziel obie strony przez 5**\n\n\\[5x^2 - 45 \\leq 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x^2 - 9 \\leq 0\\]\n\nDzielimy przez \\(5 > 0\\), więc znak nierówności się **nie zmienia**.\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu \\(f(x) = x^2 - 9\\)**\n\n\\[x^2 - 9 = 0 \\implies x^2 = 9 \\implies x = -3 \\quad \\text{lub} \\quad x = 3\\]\n\n**Krok 3: Odczytaj znak paraboli**\n\nParabola \\(f(x) = x^2 - 9\\) ma ramiona skierowane **w górę** (współczynnik \\(a = 1 > 0\\)).\n\nZatem parabola jest **pod osią \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)) **między** miejscami zerowymi.\n\n**Krok 4: Wniosek**\n\n\\[x^2 - 9 \\leq 0 \\quad \\Leftrightarrow \\quad x \\in \\langle -3, 3 \\rangle\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów\n\n**Krok 1: Rozłóż lewą stronę na czynniki**\n\n\\[5x^2 - 45 = 5(x^2 - 9) = 5(x-3)(x+3)\\]\n\nUżyliśmy wzoru: \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\), gdzie \\(a = x\\), \\(b = 3\\).\n\n**Krok 2: Przepisz nierówność**\n\n\\[5(x-3)(x+3) \\leq 0\\]\n\nPonieważ \\(5 > 0\\), dzielimy przez \\(5\\):\n\n\\[(x-3)(x+3) \\leq 0\\]\n\n**Krok 3: Analiza znaku iloczynu**\n\nIloczyn dwóch czynników jest \\(\\leq 0\\), gdy czynniki mają **przeciwne znaki** (lub jeden z nich równa się zero):\n\n| Przedział | \\((x+3)\\) | \\((x-3)\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = -3\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |\n| \\(-3 < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -3, 3 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x = \\pm 3\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do faktoryzacji \\(x^2 - 9\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dzielisz nierówność przez liczbę **ujemną**, musisz **odwrócić znak** nierówności. Tu dzieliliśmy przez \\(5 > 0\\) - znak pozostaje ten sam. Gdybyś miał \\(-5x^2 + 45 \\leq 0\\), dzielenie przez \\(-5\\) odwróciłoby nierówność!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola z ramionami **w górę** (\\(a > 0\\)) jest ujemna **między** pierwiastkami, a dodatnia **na zewnątrz**. Łatwo to odwrócić - narysuj szkic paraboli, jeśli nie jesteś pewien.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(-3\\) i \\(3\\) należą do rozwiązania, bo nierówność jest **niestroga** (\\(\\leq 0\\)). Pamiętaj o nawiasach **kwadratowych** \\(\\langle -3, 3 \\rangle\\), nie okrągłych!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P = \\frac{1}{8}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nPudełko I: kule 1-6 (cyfra dziesiątek). Pudełko II: kule 1-8 (cyfra jedności).\n\nLiczba wszystkich możliwych wyników: \\(|\\Omega| = 6 \\cdot 8 = 48\\)\n\nLiczba dwucyfrowa ma postać \\(\\overline{ab}\\), gdzie \\(a \\in \\{1, ,6\\}\\), \\(b \\in \\{1, ,8\\}\\).\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez 11: \\(11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99\\).\n\nMożliwe do uzyskania (\\(a \\leq 6\\), \\(b \\leq 8\\)):\n- \\(11\\): \\(a=1, b=1\\) ✓\n- \\(22\\): \\(a=2, b=2\\) ✓\n- \\(33\\): \\(a=3, b=3\\) ✓\n- \\(44\\): \\(a=4, b=4\\) ✓\n- \\(55\\): \\(a=5, b=5\\) ✓\n- \\(66\\): \\(a=6, b=6\\) ✓\n- \\(77\\): \\(a=7\\) - niemożliwe (\\(a \\leq 6\\)) ✗\n- \\(88, 99\\): niemożliwe ✗\n\nZdarzeń sprzyjających: \\(|A| = 6\\)\n\n\\[P = \\frac{6}{48} = \\frac{1}{8}\\]\n\n**Wzory CKE**: Rachunek prawdopodobieństwa (s. 29): \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\), reguła mnożenia.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 27. (2 pkt)<br>Rozwiąż nierówność<br>2<br>5<br>45<br>0<br>x -<br>≤<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>26.<br>27.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (2 pkt)<br>Rozwiąż nierówność<br>2<br>5<br>45<br>0<br>x -<br>≤<br>Rozwiązanie<br>Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.<br>Pierwszy etap rozwiązania:<br>Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>2<br>5<br>45<br>x<br>:<br>• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową<br>trójmianu lub zaznaczając na wykresie<br>1<br>3<br>x<br>,<br>2<br>3<br>x<br>lub (<br>)(<br>)<br>5<br>3<br>3<br>x<br>x<br>albo<br>• obliczamy wyróżnik tego trójmianu a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:<br>(<br>)<br>2<br>0<br>4 5<br>45<br>30<br>Δ =<br>-⋅⋅-<br>,<br>1<br>0<br>30<br>3<br>10<br>x<br>,<br>2<br>0<br>30<br>3<br>10<br>x<br>Drugi etap rozwiązania:<br>Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: 3<br>3<br>-≤<br>≤<br>x<br>lub<br>3, 3<br>lub<br>3, 3<br>∈-<br>x<br>, np. odczytując<br>go ze szkicu wykresu funkcji<br>( )<br>2<br>5<br>45<br>f x<br>x<br>Schemat oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br>• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór<br>rozwiązań nierówności, np.<br>o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. (<br>)(<br>)<br>5<br>3<br>3<br>x<br>x<br>i na tym<br>poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,<br>o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>1<br>3<br>x<br>,<br>2<br>3<br>x<br>i na tym<br>poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,<br>o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji<br>( )<br>2<br>5<br>45<br>f x<br>x<br>i na tym<br>poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,<br>albo<br>• realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)<br>i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rachunkowy przy<br>obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do<br>popełnionego błędu rozwiąże nierówność.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy:<br>• poda zbiór rozwiązań nierówności: 3<br>3<br>-≤<br>≤<br>x<br>lub<br>3, 3<br>lub<br>3, 3<br>∈-<br>x<br>albo<br>• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań<br>nierówności w postaci: 3<br>3<br>-≤<br>≤<br>x<br>-3<br>3<br>x<br>Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015<br>Kryteria oceniania odpowiedzi<br>4<br>albo<br>• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi<br>końcami przedziałów<br>Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki</p>\n<ol><li>Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu</li></ol>\n<p>1<br>3<br>x<br>,<br>2<br>3<br>x<br>i zapisze, np.<br>3,<br>3<br>∈-<br>x<br>, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu<br>jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań</li></ol>\n<p>nierówności w postaci<br>3,<br>3<br>∈<br>x<br>, to przyznajemy 2 punkty.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 3 \\rangle\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Uproszczenie i wzór na miejsca zerowe</h4>\n<p><strong>Krok 1: Uprość nierówność - podziel obie strony przez 5</strong></p>\n<p>\\[5x^2 - 45 \\leq 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x^2 - 9 \\leq 0\\]</p>\n<p>Dzielimy przez \\(5 &gt; 0\\), więc znak nierówności się <strong>nie zmienia</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu \\(f(x) = x^2 - 9\\)</strong></p>\n<p>\\[x^2 - 9 = 0 \\implies x^2 = 9 \\implies x = -3 \\quad \\text{lub} \\quad x = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Odczytaj znak paraboli</strong></p>\n<p>Parabola \\(f(x) = x^2 - 9\\) ma ramiona skierowane <strong>w górę</strong> (współczynnik \\(a = 1 &gt; 0\\)).</p>\n<p>Zatem parabola jest <strong>pod osią \\(OX\\)</strong> (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)) <strong>między</strong> miejscami zerowymi.</p>\n<p><strong>Krok 4: Wniosek</strong></p>\n<p>\\[x^2 - 9 \\leq 0 \\quad \\Leftrightarrow \\quad x \\in \\langle -3, 3 \\rangle\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów</h4>\n<p><strong>Krok 1: Rozłóż lewą stronę na czynniki</strong></p>\n<p>\\[5x^2 - 45 = 5(x^2 - 9) = 5(x-3)(x+3)\\]</p>\n<p>Użyliśmy wzoru: \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\), gdzie \\(a = x\\), \\(b = 3\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Przepisz nierówność</strong></p>\n<p>\\[5(x-3)(x+3) \\leq 0\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(5 &gt; 0\\), dzielimy przez \\(5\\):</p>\n<p>\\[(x-3)(x+3) \\leq 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Analiza znaku iloczynu</strong></p>\n<p>Iloczyn dwóch czynników jest \\(\\leq 0\\), gdy czynniki mają <strong>przeciwne znaki</strong> (lub jeden z nich równa się zero):</p>\n<p>| Przedział | \\((x+3)\\) | \\((x-3)\\) | Iloczyn |<br>| \\(x &lt; -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |<br>| \\(x = -3\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |<br>| \\(-3 &lt; x &lt; 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |<br>| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |<br>| \\(x &gt; 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |</p>\n<p>Iloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -3, 3 \\rangle\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - miejsca zerowe:<br>\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x = \\pm 3\\).</p>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong> - różnica kwadratów:<br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do faktoryzacji \\(x^2 - 9\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy dzielisz nierówność przez liczbę <strong>ujemną</strong>, musisz <strong>odwrócić znak</strong> nierówności. Tu dzieliliśmy przez \\(5 &gt; 0\\) - znak pozostaje ten sam. Gdybyś miał \\(-5x^2 + 45 \\leq 0\\), dzielenie przez \\(-5\\) odwróciłoby nierówność!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parabola z ramionami <strong>w górę</strong> (\\(a &gt; 0\\)) jest ujemna <strong>między</strong> pierwiastkami, a dodatnia <strong>na zewnątrz</strong>. Łatwo to odwrócić - narysuj szkic paraboli, jeśli nie jesteś pewien.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Końce przedziału \\(-3\\) i \\(3\\) należą do rozwiązania, bo nierówność jest <strong>niestroga</strong> (\\(\\leq 0\\)). Pamiętaj o nawiasach <strong>kwadratowych</strong> \\(\\langle -3, 3 \\rangle\\), nie okrągłych!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(P = \\frac{1}{8}\\)</strong></p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Pudełko I: kule 1-6 (cyfra dziesiątek). Pudełko II: kule 1-8 (cyfra jedności).</p>\n<p>Liczba wszystkich możliwych wyników: \\(|\\Omega| = 6 \\cdot 8 = 48\\)</p>\n<p>Liczba dwucyfrowa ma postać \\(\\overline{ab}\\), gdzie \\(a \\in \\{1, ,6\\}\\), \\(b \\in \\{1, ,8\\}\\).</p>\n<p>Liczby dwucyfrowe podzielne przez 11: \\(11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99\\).</p>\n<p>Możliwe do uzyskania (\\(a \\leq 6\\), \\(b \\leq 8\\)):</p>\n<ul><li>\\(11\\): \\(a=1, b=1\\) ✓</li><li>\\(22\\): \\(a=2, b=2\\) ✓</li><li>\\(33\\): \\(a=3, b=3\\) ✓</li><li>\\(44\\): \\(a=4, b=4\\) ✓</li><li>\\(55\\): \\(a=5, b=5\\) ✓</li><li>\\(66\\): \\(a=6, b=6\\) ✓</li><li>\\(77\\): \\(a=7\\) - niemożliwe (\\(a \\leq 6\\)) ✗</li><li>\\(88, 99\\): niemożliwe ✗</li></ul>\n<p>Zdarzeń sprzyjających: \\(|A| = 6\\)</p>\n<p>\\[P = \\frac{6}{48} = \\frac{1}{8}\\]</p>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Rachunek prawdopodobieństwa (s. 29): \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\), reguła mnożenia.</p>"}]}