{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nZe\nzbioru\nliczb\nnaturalnych\ndwucyfrowych\nlosowo\nwybieramy\njedną\nliczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę\npodzielną przez 9 lub podzielną przez 12.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nZe\nzbioru\nliczb\nnaturalnych\ndwucyfrowych\nlosowo\nwybieramy\njedną\nliczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną\nprzez 9 lub podzielną przez 12.\nRozwiązanie\nZbiór zdarzeń elementarnych Ω zawiera 90 liczb naturalnych dwucyfrowych. Jest to model\nklasyczny. Wśród tych liczb jest osiem liczb podzielnych przez 9, ale nie przez 12, sześć liczb\npodzielnych przez 12, ale nie przez 9, oraz dwie liczby podzielne zarówno przez 9 jak\ni przez 12. Zatem\n8\n6\n2\n16\nA\n. Stąd\n( )\n16\n8\n90\n45\nP A\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poda\n• liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n90\nΩ =\nalbo\n• liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A:\n16\nA\nalbo\n• wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A :\n12, 18, 24, 27, 36, 45, 48, 54, 60, 63, 72, 81, 84, 90, 96, 99\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że\n( )\n16\n90\nP A\nUwagi\n1. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większa od 1, to zdający otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poda jedynie ( )\n16\n90\nP A\n, to otrzymuje 1 punkt.\n-3\n3\nx\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n5","solution":"## Odpowiedź: \\(P(A)=\\dfrac{8}{45}\\)\n\nLiczb dwucyfrowych jest \\(90\\) (od \\(10\\) do \\(99\\)). Podzielnych przez \\(9\\): \\(10\\) (od \\(18\\) do \\(99\\)). Podzielnych przez \\(12\\): \\(8\\) (od \\(12\\) do \\(96\\)). Podzielnych przez \\(36\\) (przez \\(9\\) i \\(12\\)): \\(2\\) (\\(36,72\\)). Z zasady włączeń-wyłączeń: \\(10+8-2=16\\). \\(P(A)=\\dfrac{16}{90}=\\dfrac{8}{45}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(x \\in [2, 3]\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nNierówność: \\(20x \\geq 4x^2 + 24\\)\n\nPrzenosimy na jedną stronę:\n\\[4x^2 - 20x + 24 \\leq 0\\]\n\nDzielimy przez 4:\n\\[x^2 - 5x + 6 \\leq 0\\]\n\nRozkładamy trójmian:\n\\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\\]\n\nNierówność \\((x-2)(x-3) \\leq 0\\) jest spełniona, gdy \\(x\\) leży **między pierwiastkami**:\n\\[2 \\leq x \\leq 3\\]\n\nOdpowiedź: \\(x \\in [2, 3]\\).\n\n**Wzory CKE**: Funkcja kwadratowa (s. 7-9): miejsca zerowe, postać iloczynowa, nierówności kwadratowe.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 28. (2 pkt)<br>Ze<br>zbioru<br>liczb<br>naturalnych<br>dwucyfrowych<br>losowo<br>wybieramy<br>jedną<br>liczbę.<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę<br>podzielną przez 9 lub podzielną przez 12.<br>Odpowiedź:</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 28. (2 pkt)<br>Ze<br>zbioru<br>liczb<br>naturalnych<br>dwucyfrowych<br>losowo<br>wybieramy<br>jedną<br>liczbę.<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną<br>przez 9 lub podzielną przez 12.<br>Rozwiązanie<br>Zbiór zdarzeń elementarnych Ω zawiera 90 liczb naturalnych dwucyfrowych. Jest to model<br>klasyczny. Wśród tych liczb jest osiem liczb podzielnych przez 9, ale nie przez 12, sześć liczb<br>podzielnych przez 12, ale nie przez 9, oraz dwie liczby podzielne zarówno przez 9 jak<br>i przez 12. Zatem<br>8<br>6<br>2<br>16<br>A<br>. Stąd<br>( )<br>16<br>8<br>90<br>45<br>P A<br>Schemat oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy poda<br>• liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:<br>90<br>Ω =<br>albo<br>• liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A:<br>16<br>A<br>albo<br>• wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A :<br>12, 18, 24, 27, 36, 45, 48, 54, 60, 63, 72, 81, 84, 90, 96, 99<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy obliczy i zapisze, że<br>( )<br>16<br>90<br>P A<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większa od 1, to zdający otrzymuje 0 punktów</li></ol>\n<p>za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poda jedynie ( )</li></ol>\n<p>16<br>90<br>P A<br>, to otrzymuje 1 punkt.<br>-3<br>3<br>x<br>Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015<br>Kryteria oceniania odpowiedzi<br>5</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Odpowiedź: \\(P(A)=\\dfrac{8}{45}\\)</h4>\n<p>Liczb dwucyfrowych jest \\(90\\) (od \\(10\\) do \\(99\\)). Podzielnych przez \\(9\\): \\(10\\) (od \\(18\\) do \\(99\\)). Podzielnych przez \\(12\\): \\(8\\) (od \\(12\\) do \\(96\\)). Podzielnych przez \\(36\\) (przez \\(9\\) i \\(12\\)): \\(2\\) (\\(36,72\\)). Z zasady włączeń-wyłączeń: \\(10+8-2=16\\). \\(P(A)=\\dfrac{16}{90}=\\dfrac{8}{45}\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> - \\(x \\in [2, 3]\\)</p>\n<p><strong>Sposób rozwiązania</strong>:</p>\n<p>Nierówność: \\(20x \\geq 4x^2 + 24\\)</p>\n<p>Przenosimy na jedną stronę:<br>\\[4x^2 - 20x + 24 \\leq 0\\]</p>\n<p>Dzielimy przez 4:<br>\\[x^2 - 5x + 6 \\leq 0\\]</p>\n<p>Rozkładamy trójmian:<br>\\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\\]</p>\n<p>Nierówność \\((x-2)(x-3) \\leq 0\\) jest spełniona, gdy \\(x\\) leży <strong>między pierwiastkami</strong>:<br>\\[2 \\leq x \\leq 3\\]</p>\n<p>Odpowiedź: \\(x \\in [2, 3]\\).</p>\n<p><strong>Wzory CKE</strong>: Funkcja kwadratowa (s. 7-9): miejsca zerowe, postać iloczynowa, nierówności kwadratowe.</p>"}]}