{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i spełnia równość\n1\n7\ntg\ntg\n2\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i spełnia równość\n1\n7\ntg\ntg\n2\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nI sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia.\nKorzystając z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym, lewą stronę równości\n1\n7\ntg\ntg\n2\nα\nα\nmożemy zapisać, a następnie przekształcić następująco:\n2\n2\n2\n1\na\na\nb\na\nb\nc\na\nb\nb\na\nab\nab\nb\nZ drugiej strony zauważmy, że szukane wyrażenie sin\ncos\nα\nα\n⋅\njest równe\n2\na b\nab\nc c\nc\n⋅\nPonieważ\n2\n7\n2\nc\nab =\n, więc\n2\n2\n7\nab\nc =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykorzysta definicje lub własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym,\ndoprowadzi wyrażenie\n1\ntg\ntg\nα\nα\ndo postaci\n2c\nab i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\njest równa 2\n7 .\nII sposób rozwiązania\nPonieważ\n2\n2\n1\nsin\ncos\nsin\ncos\n1\ntg\ntg\ncos\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\n⋅\n⋅\n, więc z równości\n1\n7\nsin\ncos\n2\nα\nα =\n⋅\nwynika, że szukany iloczyn sin\ncos\nα\nα\n⋅\nprzyjmuje wartość 2\n7 .\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\n2\n2\n1\nsin\ncos\ntg\ntg\nsin\ncos\nα\nα\nα\nα\nα\nα\n⋅\nalbo\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\n1\nsin\ncos\n1\nsin\ncos\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nα\n⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\na\nb\nc\nα\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n6\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nrówna się 2\n7 .\nIII sposób rozwiązania\nPonieważ α jest kątem ostrym, więc tg\n0\nα >\ni równość\n1\n7\ntg\ntg\n2\nα\nα\nmożemy zapisać\nw postaci\n2\n7\ntg\ntg\n1\n0\n2\nα\nα\nRównanie powyższe ma dwa rozwiązania:\n7\n33\ntg\n4\nα\n,\n7\n33\ntg\n4\nα\nGdy\n7\n33\ntg\n4\nα\n, to\n4\ncos\n98 14 33\nα =\ni\n7\n33\nsin\n14\nα\n. Wtedy\n(\n)\n(\n)\n16 7\n33\n7\n33\n4\n7\n33\n16\n4\n2\nsin\ncos\n14\n14\n14\n7\n98 14 33\n14 14 7\n33\n98 14 33\nα\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nGdy zaś\n7\n33\ntg\n4\nα\n, to\n4\ncos\n98 14 33\nα =\ni\n7\n33\nsin\n14\nα\n. Wtedy\n(\n)\n(\n)\n16 7\n33\n7\n33\n4\n7\n33\n16\n4\n2\nsin\ncos\n14\n14\n14\n7\n98 14 33\n14 14 7\n33\n98 14 33\nα\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że równanie\n2\n7\ntg\ntg\n1\n0\n2\nα\nα\nma dwa rozwiązania:\n7\n33\ntg\n4\nα\n,\n7\n33\ntg\n4\nα\n, a ponadto w jednym przypadku obliczy wartość cosα i sinα i na tym\nzakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sin\ncos\nα\nα\n⋅\nrówna się 2\n7 .\nUwaga\nJeżeli zdający obliczy jedną z wartości tgα , np.:\n7\n33\ntg\n4\nα\n, poda jej wartość\nprzybliżoną 0,3139, odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta\n17\nα ≈\n° oraz przybliżone\nwartości sin\n0,2924\nα ≈\n, cos\n0,9563\nα ≈\ni na tej podstawie obliczy przybliżoną wartość\nwyrażenia sin\ncos\n0,2924 0,9563\n0,2762\nα\nα\n⋅\n≈\n⋅\n≈\n, to otrzymuje 1 punkt.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n7","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\dfrac{2}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana tangensa na sinus i cosinus\n\n**Punkt wyjścia:** Zamieniamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) na \\(\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), aby połączyć szukaną wartość z danym wyrażeniem.\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha + \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha\\):\n\n\\[\\frac{\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nKluczowy moment - w liczniku mamy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\n\\[\\frac{1}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nOdwracamy obie strony:\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wyznaczenie \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) z równania kwadratowego\n\nNiech \\(t = \\operatorname{tg}\\alpha\\). Dane równanie to:\n\n\\[t + \\frac{1}{t} = \\frac{7}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(t\\) (skoro \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(t > 0\\)):\n\n\\[t^2 + 1 = \\frac{7t}{2}\\]\n\n\\[2t^2 - 7t + 2 = 0\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta = 49 - 16 = 33\\), więc:\n\\[t = \\frac{7 \\pm \\sqrt{33}}{4}\\]\n\nObie wartości są dodatnie (co zgodne z kątem ostrym). Teraz korzystamy ze wzoru:\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha}{1 + \\operatorname{tg}^2\\alpha} = \\frac{t}{1 + t^2}\\]\n\nZ równania \\(2t^2 - 7t + 2 = 0\\) wyznaczamy \\(t^2 = \\frac{7t - 2}{2}\\), więc:\n\n\\[1 + t^2 = 1 + \\frac{7t-2}{2} = \\frac{7t}{2}\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{t}{\\dfrac{7t}{2}} = \\frac{2}{7}\\]\n\n**Wynik ten sam dla obu wartości \\(t\\)** - eleganckie potwierdzenie!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do uproszczenia licznika ułamka - to serce całego rozwiązania.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta przy zamianie wyrażenia z \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) na sinus i cosinus.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na pierwiastki (w Sposobie 2):\n\\[t_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj wyznaczyć dokładnych wartości \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) osobno - to droga przez mękę. Sztuczka polega na tym, że wyrażenie \\(\\operatorname{tg}\\alpha + \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha}\\) po zamianie na sinus i cosinus daje **dokładnie odwrotność szukanego iloczynu**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów mnoży obie strony przez \\(t\\) i zapomina, że \\(t > 0\\) (kąt ostry) - to trzeba zaznaczyć, by uzasadnić, że oba rozwiązania równania kwadratowego są dopuszczalne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź poprawność wyniku: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\sin 2\\alpha\\), więc \\(\\sin 2\\alpha = \\frac{4}{7} < 1\\) - wartość dozwolona. Gdyby wyszło coś powyżej \\(\\frac{1}{2}\\), byłby błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{7}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nDane: \\(\\operatorname{tg}\\alpha + \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha} = \\frac{7}{2}\\)\n\nPrzepisujemy lewą stronę na sinus i cosinus:\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha}\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[\\frac{1}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]\n\nStąd:\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{7}\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\frac{2}{7} \\in (0, \\frac{1}{2}]\\) - poprawne dla kąta ostrego. ✓\n\n**Wzory CKE**: Trygonometria (s. 11-12): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Kąt α jest ostry i spełnia równość
1
7
tg
tg
2
α
α
. Oblicz wartość wyrażenia sin
cos
α
α
⋅
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Kąt α jest ostry i spełnia równość
1
7
tg
tg
2
α
α
. Oblicz wartość wyrażenia sin
cos
α
α
⋅
I sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia.
Korzystając z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym, lewą stronę równości
1
7
tg
tg
2
α
α
możemy zapisać, a następnie przekształcić następująco:
2
2
2
1
a
a
b
a
b
c
a
b
b
a
ab
ab
b
Z drugiej strony zauważmy, że szukane wyrażenie sin
cos
α
α
⋅
jest równe
2
a b
ab
c c
c
⋅
Ponieważ
2
7
2
c
ab =
, więc
2
2
7
ab
c =
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wykorzysta definicje lub własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym,
doprowadzi wyrażenie
1
tg
tg
α
α
do postaci
2c
ab i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sin
cos
α
α
⋅
jest równa 2
7 .
II sposób rozwiązania
Ponieważ
2
2
1
sin
cos
sin
cos
1
tg
tg
cos
sin
sin
cos
sin
cos
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
⋅
⋅
, więc z równości
1
7
sin
cos
2
α
α =
⋅
wynika, że szukany iloczyn sin
cos
α
α
⋅
przyjmuje wartość 2
7 .
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze
2
2
1
sin
cos
tg
tg
sin
cos
α
α
α
α
α
α
⋅
albo
2
2
sin
cos
sin
cos
1
sin
cos
1
sin
cos
cos
sin
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
⋅
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
a
b
c
α
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
6
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sin
cos
α
α
⋅
równa się 2
7 .
III sposób rozwiązania
Ponieważ α jest kątem ostrym, więc tg
0
α >
i równość
1
7
tg
tg
2
α
α
możemy zapisać
w postaci
2
7
tg
tg
1
0
2
α
α
Równanie powyższe ma dwa rozwiązania:
7
33
tg
4
α
,
7
33
tg
4
α
Gdy
7
33
tg
4
α
, to
4
cos
98 14 33
α =
i
7
33
sin
14
α
. Wtedy
(
)
(
)
16 7
33
7
33
4
7
33
16
4
2
sin
cos
14
14
14
7
98 14 33
14 14 7
33
98 14 33
α
α
⋅
⋅
⋅
⋅
Gdy zaś
7
33
tg
4
α
, to
4
cos
98 14 33
α =
i
7
33
sin
14
α
. Wtedy
(
)
(
)
16 7
33
7
33
4
7
33
16
4
2
sin
cos
14
14
14
7
98 14 33
14 14 7
33
98 14 33
α
α
⋅
⋅
⋅
⋅
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze, że równanie
2
7
tg
tg
1
0
2
α
α
ma dwa rozwiązania:
7
33
tg
4
α
,
7
33
tg
4
α
, a ponadto w jednym przypadku obliczy wartość cosα i sinα i na tym
zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sin
cos
α
α
⋅
równa się 2
7 .
Uwaga
Jeżeli zdający obliczy jedną z wartości tgα , np.:
7
33
tg
4
α
, poda jej wartość
przybliżoną 0,3139, odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta
17
α ≈
° oraz przybliżone
wartości sin
0,2924
α ≈
, cos
0,9563
α ≈
i na tej podstawie obliczy przybliżoną wartość
wyrażenia sin
cos
0,2924 0,9563
0,2762
α
α
⋅
≈
⋅
≈
, to otrzymuje 1 punkt.
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
7

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\dfrac{2}{7}\\)

\n

Sposób 1 - Zamiana tangensa na sinus i cosinus

\n

Punkt wyjścia: Zamieniamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) na \\(\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), aby połączyć szukaną wartość z danym wyrażeniem.

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha + \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Podstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):

\n

\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha\\):

\n

\\[\\frac{\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Kluczowy moment - w liczniku mamy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):

\n

\\[\\frac{1}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Odwracamy obie strony:

\n

\\[\\boxed{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{7}}\\]

\n

Sposób 2 - Przez wyznaczenie \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) z równania kwadratowego

\n

Niech \\(t = \\operatorname{tg}\\alpha\\). Dane równanie to:

\n

\\[t + \\frac{1}{t} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(t\\) (skoro \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(t > 0\\)):

\n

\\[t^2 + 1 = \\frac{7t}{2}\\]

\n

\\[2t^2 - 7t + 2 = 0\\]

\n

Wyróżnik: \\(\\Delta = 49 - 16 = 33\\), więc:
\\[t = \\frac{7 \\pm \\sqrt{33}}{4}\\]

\n

Obie wartości są dodatnie (co zgodne z kątem ostrym). Teraz korzystamy ze wzoru:

\n

\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha}{1 + \\operatorname{tg}^2\\alpha} = \\frac{t}{1 + t^2}\\]

\n

Z równania \\(2t^2 - 7t + 2 = 0\\) wyznaczamy \\(t^2 = \\frac{7t - 2}{2}\\), więc:

\n

\\[1 + t^2 = 1 + \\frac{7t-2}{2} = \\frac{7t}{2}\\]

\n

Zatem:

\n

\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{t}{\\dfrac{7t}{2}} = \\frac{2}{7}\\]

\n

Wynik ten sam dla obu wartości \\(t\\) - eleganckie potwierdzenie!

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyta w Sposobie 1 do uproszczenia licznika ułamka - to serce całego rozwiązania.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Użyta przy zamianie wyrażenia z \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) na sinus i cosinus.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wzór na pierwiastki (w Sposobie 2):
\\[t_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie próbuj wyznaczyć dokładnych wartości \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) osobno - to droga przez mękę. Sztuczka polega na tym, że wyrażenie \\(\\operatorname{tg}\\alpha + \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha}\\) po zamianie na sinus i cosinus daje dokładnie odwrotność szukanego iloczynu.
\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów mnoży obie strony przez \\(t\\) i zapomina, że \\(t > 0\\) (kąt ostry) - to trzeba zaznaczyć, by uzasadnić, że oba rozwiązania równania kwadratowego są dopuszczalne.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź poprawność wyniku: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\sin 2\\alpha\\), więc \\(\\sin 2\\alpha = \\frac{4}{7} < 1\\) - wartość dozwolona. Gdyby wyszło coś powyżej \\(\\frac{1}{2}\\), byłby błąd.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{7}\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Dane: \\(\\operatorname{tg}\\alpha + \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha} = \\frac{7}{2}\\)

\n

Przepisujemy lewą stronę na sinus i cosinus:
\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha}\\]

\n

Z jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):
\\[\\frac{1}{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Stąd:
\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{7}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(\\frac{2}{7} \\in (0, \\frac{1}{2}]\\) - poprawne dla kąta ostrego. ✓

\n

Wzory CKE: Trygonometria (s. 11-12): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\).

"}]}