{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nUdowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest\nnierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nUdowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\nI sposób rozwiązania\nNierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\nprzekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n,\n(\n) (\n)\n3\n2\n3\n2\n0\nx\nx y\ny\nxy\n≥\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n0\nx\nx\ny\ny\nx\ny\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\ny\n≥\n,\n(\n) (\n)\n2\n0\nx\ny\nx\ny\n≥\n,\nTa nierówność jest prawdziwa, gdyż (\n)\n2\n0\nx\ny\n≥\ndla dowolnych liczb rzeczywistych x i y oraz\n0\nx\ny\n≥\n, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód.\nII sposób rozwiązania\nNierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\nprzekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n,\n(\n) (\n)\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n,\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\nxy x\ny\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\nxy\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\n≥\n,\n(\n)(\n)\n2\n0\nx\ny\nx\ny\n≥\nTa nierówność jest prawdziwa, gdyż (\n)\n2\n0\nx\ny\n≥\ndla dowolnych liczb rzeczywistych x i y oraz\n0\nx\ny\n≥\n, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód.\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze nierówność w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\ny\n≥\nalbo\n• zapisze nierówność w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy uzasadni prawdziwość nierówności\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n≥\nUwaga\nJeżeli zdający przejdzie w swoim rozumowaniu z postaci (\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n0\nx\ny\nx\nxy\ny\nxy x\ny\n≥\ndo postaci\n2\n2\n0\n≥\nx\nxy\ny\nxy\nbez zaznaczenia, że skoro x i y są nieujemne, to ich suma też\njest nieujemna, ale dokona dzielenia obu stron nierówności przez\nx\ny i dalej przeprowadzi\npoprawne rozumowanie, to otrzymuje 1 punkt.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n8","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(x, y \\geq 0\\)\n\nZadanie polega na **udowodnieniu** nierówności, czyli pokazaniu, że \\(x^3 + y^3 \\geq x^2y + xy^2\\) zachodzi dla każdych \\(x, y \\geq 0\\).\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do nieujemności wyrażenia\n\n**Idea:** Przenosimy wszystko na jedną stronę i pokazujemy, że różnica jest zawsze \\(\\geq 0\\).\n\n**Krok 1.** Przenosimy prawą stronę na lewą:\n\n\\[x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 \\geq 0\\]\n\n**Krok 2.** Grupujemy wyrazy, żeby wyciągnąć wspólny czynnik:\n\n\\[x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\geq 0\\]\n\n\\[x^2(x - y) - y^2(x - y) \\geq 0\\]\n\n**Krok 3.** Wyciągamy wspólny czynnik \\((x - y)\\):\n\n\\[(x - y)(x^2 - y^2) \\geq 0\\]\n\n**Krok 4.** Rozkładamy \\(x^2 - y^2\\) jako różnicę kwadratów:\n\n\\[(x - y)(x - y)(x + y) \\geq 0\\]\n\n\\[(x - y)^2(x + y) \\geq 0\\]\n\n**Krok 5.** Analizujemy znak:\n\n- \\((x - y)^2 \\geq 0\\) - kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny ✓\n- \\(x + y \\geq 0\\) - bo \\(x \\geq 0\\) i \\(y \\geq 0\\) (założenie zadania) ✓\n\n**Iloczyn dwóch wyrażeń nieujemnych jest nieujemny**, zatem:\n\n\\[(x - y)^2(x + y) \\geq 0\\]\n\nco kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja przez wzór na sumę sześcianów\n\n**Idea:** Wychodzimy od wzoru na \\(x^3 + y^3\\) z karty wzorów i porównujemy z prawą stroną.\n\n**Krok 1.** Przekształcamy prawą stronę - wyciągamy wspólny czynnik \\(xy\\):\n\n\\[x^2y + xy^2 = xy(x + y)\\]\n\n**Krok 2.** Lewą stronę rozkładamy wzorem na sumę sześcianów:\n\n\\[x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\\]\n\n**Krok 3.** Nierówność przyjmuje postać:\n\n\\[(x + y)(x^2 - xy + y^2) \\geq xy(x + y)\\]\n\n**Krok 4.** Rozważamy dwa przypadki:\n\n**Przypadek A:** \\(x + y = 0\\). Ponieważ \\(x, y \\geq 0\\), to \\(x + y = 0 \\iff x = y = 0\\). Wtedy obie strony wynoszą \\(0\\), nierówność zachodzi.\n\n**Przypadek B:** \\(x + y > 0\\). Dzielimy obie strony przez \\(x + y > 0\\) (nierówność nie zmienia kierunku):\n\n\\[x^2 - xy + y^2 \\geq xy\\]\n\n\\[x^2 - 2xy + y^2 \\geq 0\\]\n\n\\[(x - y)^2 \\geq 0\\]\n\nTo zawsze prawda - kwadrat jest nieujemny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na sumę sześcianów (Sposób 2):\n\\[x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\\]\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów (Sposób 1):\n\\[x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\\]\nUżyta przy rozkładzie \\((x-y)(x^2 - y^2) = (x-y)^2(x+y)\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - kwadrat różnicy (Sposób 2, krok 4):\n\\[(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\\]\nKluczowy wniosek: \\((x-y)^2 \\geq 0\\) dla wszystkich rzeczywistych \\(x, y\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno „podzielić przez \\((x+y)\\)\" bez sprawdzenia, że \\(x+y \\neq 0\\). W zadaniu \\(x, y \\geq 0\\), więc \\(x+y=0\\) tylko gdy \\(x=y=0\\) - ten przypadek trzeba rozpatrzyć osobno (jak w Sposobie 2).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu wyrazów w Sposobie 1 łatwo o błąd znaku. Sprawdź: \\(-x^2y - xy^2 = -y^2(x-y) \\cdot ?\\) - nie, poprawnie: \\(-xy^2 + y^3 = -y^2(x - y)\\). Zawsze weryfikuj grupowanie przez rozwinięcie z powrotem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Założenie \\(x, y \\geq 0\\) jest tu **kluczowe** - jest potrzebne do uzasadnienia, że \\(x + y \\geq 0\\). Bez tego warunku nierówność byłaby fałszywa (np. \\(x = -3, y = 0\\): lewa strona \\(-27\\), prawa strona \\(0\\)).\n\n**Dowód nierówności \\(x^4 + y^4 \\geq x^3y + xy^3\\) dla \\(x, y \\geq 0\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 \\geq 0\\]\n\nGrupujemy:\n\\[x^3(x - y) - y^3(x - y) = (x^3 - y^3)(x - y)\\]\n\nRozkładamy \\(x^3 - y^3\\) ze wzoru skróconego mnożenia:\n\\[x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)\\]\n\nOstatecznie:\n\\[x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 = (x - y)^2(x^2 + xy + y^2)\\]\n\nWystarczy wykazać, że oba czynniki są nieujemne:\n\n1. \\((x - y)^2 \\geq 0\\) - kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny. ✓\n\n2. \\(x^2 + xy + y^2 \\geq 0\\) dla \\(x, y \\geq 0\\) - suma trzech nieujemnych składników (bo \\(x \\geq 0, y \\geq 0\\)). ✓\n\nZatem:\n\\[(x - y)^2(x^2 + xy + y^2) \\geq 0\\]\n\nco oznacza:\n\\[x^4 + y^4 \\geq x^3y + xy^3 \\quad \\text{c.n.d.}\\]\n\nRówność zachodzi, gdy \\(x = y\\) lub \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\).\n\n**Wzory CKE**: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Udowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest
nierówność
3
3
2
2
x
y
x y
xy
≥

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Udowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
3
3
2
2
x
y
x y
xy
≥
I sposób rozwiązania
Nierówność
3
3
2
2
x
y
x y
xy
≥
przekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno
3
3
2
2
0
x
y
x y
xy
≥
,
(
) (
)
3
2
3
2
0
x
x y
y
xy
≥
,
(
)
(
)
2
2
0
x
x
y
y
x
y
≥
,
(
)(
)
2
2
0
x
y
x
y
≥
,
(
) (
)
2
0
x
y
x
y
≥
,
Ta nierówność jest prawdziwa, gdyż (
)
2
0
x
y
≥
dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y oraz
0
x
y
≥
, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód.
II sposób rozwiązania
Nierówność
3
3
2
2
x
y
x y
xy
≥
przekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno
3
3
2
2
0
x
y
x y
xy
≥
,
(
) (
)
3
3
2
2
0
x
y
x y
xy
≥
,
(
)(
)
(
)
2
2
0
x
y
x
xy
y
xy x
y
≥
,
(
)(
)
2
2
0
x
y
x
xy
y
xy
≥
,
(
)(
)
2
2
2
0
x
y
x
xy
y
≥
,
(
)(
)
2
0
x
y
x
y
≥
Ta nierówność jest prawdziwa, gdyż (
)
2
0
x
y
≥
dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y oraz
0
x
y
≥
, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze nierówność w postaci (
)(
)
2
2
0
x
y
x
y
≥
albo
• zapisze nierówność w postaci (
)(
)
2
2
2
0
x
y
x
xy
y
≥
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy uzasadni prawdziwość nierówności
3
3
2
2
x
y
x y
xy
≥
Uwaga
Jeżeli zdający przejdzie w swoim rozumowaniu z postaci (
)(
)
(
)
2
2
0
x
y
x
xy
y
xy x
y
≥
do postaci
2
2
0
≥
x
xy
y
xy
bez zaznaczenia, że skoro x i y są nieujemne, to ich suma też
jest nieujemna, ale dokona dzielenia obu stron nierówności przez
x
y i dalej przeprowadzi
poprawne rozumowanie, to otrzymuje 1 punkt.
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
8

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(x, y \\geq 0\\)

\n

Zadanie polega na udowodnieniu nierówności, czyli pokazaniu, że \\(x^3 + y^3 \\geq x^2y + xy^2\\) zachodzi dla każdych \\(x, y \\geq 0\\).

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do nieujemności wyrażenia

\n

Idea: Przenosimy wszystko na jedną stronę i pokazujemy, że różnica jest zawsze \\(\\geq 0\\).

\n

Krok 1. Przenosimy prawą stronę na lewą:

\n

\\[x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 \\geq 0\\]

\n

Krok 2. Grupujemy wyrazy, żeby wyciągnąć wspólny czynnik:

\n

\\[x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\geq 0\\]

\n

\\[x^2(x - y) - y^2(x - y) \\geq 0\\]

\n

Krok 3. Wyciągamy wspólny czynnik \\((x - y)\\):

\n

\\[(x - y)(x^2 - y^2) \\geq 0\\]

\n

Krok 4. Rozkładamy \\(x^2 - y^2\\) jako różnicę kwadratów:

\n

\\[(x - y)(x - y)(x + y) \\geq 0\\]

\n

\\[(x - y)^2(x + y) \\geq 0\\]

\n

Krok 5. Analizujemy znak:

\n\n

Iloczyn dwóch wyrażeń nieujemnych jest nieujemny, zatem:

\n

\\[(x - y)^2(x + y) \\geq 0\\]

\n

co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Faktoryzacja przez wzór na sumę sześcianów

\n

Idea: Wychodzimy od wzoru na \\(x^3 + y^3\\) z karty wzorów i porównujemy z prawą stroną.

\n

Krok 1. Przekształcamy prawą stronę - wyciągamy wspólny czynnik \\(xy\\):

\n

\\[x^2y + xy^2 = xy(x + y)\\]

\n

Krok 2. Lewą stronę rozkładamy wzorem na sumę sześcianów:

\n

\\[x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\\]

\n

Krok 3. Nierówność przyjmuje postać:

\n

\\[(x + y)(x^2 - xy + y^2) \\geq xy(x + y)\\]

\n

Krok 4. Rozważamy dwa przypadki:

\n

Przypadek A: \\(x + y = 0\\). Ponieważ \\(x, y \\geq 0\\), to \\(x + y = 0 \\iff x = y = 0\\). Wtedy obie strony wynoszą \\(0\\), nierówność zachodzi.

\n

Przypadek B: \\(x + y > 0\\). Dzielimy obie strony przez \\(x + y > 0\\) (nierówność nie zmienia kierunku):

\n

\\[x^2 - xy + y^2 \\geq xy\\]

\n

\\[x^2 - 2xy + y^2 \\geq 0\\]

\n

\\[(x - y)^2 \\geq 0\\]

\n

To zawsze prawda - kwadrat jest nieujemny. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na sumę sześcianów (Sposób 2):
\\[x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\\]

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów (Sposób 1):
\\[x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\\]
Użyta przy rozkładzie \\((x-y)(x^2 - y^2) = (x-y)^2(x+y)\\).

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - kwadrat różnicy (Sposób 2, krok 4):
\\[(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\\]
Kluczowy wniosek: \\((x-y)^2 \\geq 0\\) dla wszystkich rzeczywistych \\(x, y\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno „podzielić przez \\((x+y)\\)" bez sprawdzenia, że \\(x+y \\neq 0\\). W zadaniu \\(x, y \\geq 0\\), więc \\(x+y=0\\) tylko gdy \\(x=y=0\\) - ten przypadek trzeba rozpatrzyć osobno (jak w Sposobie 2).
\n
⚠️ Uwaga: Przy grupowaniu wyrazów w Sposobie 1 łatwo o błąd znaku. Sprawdź: \\(-x^2y - xy^2 = -y^2(x-y) \\cdot ?\\) - nie, poprawnie: \\(-xy^2 + y^3 = -y^2(x - y)\\). Zawsze weryfikuj grupowanie przez rozwinięcie z powrotem.
\n
⚠️ Uwaga: Założenie \\(x, y \\geq 0\\) jest tu kluczowe - jest potrzebne do uzasadnienia, że \\(x + y \\geq 0\\). Bez tego warunku nierówność byłaby fałszywa (np. \\(x = -3, y = 0\\): lewa strona \\(-27\\), prawa strona \\(0\\)).
\n

Dowód nierówności \\(x^4 + y^4 \\geq x^3y + xy^3\\) dla \\(x, y \\geq 0\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 \\geq 0\\]

\n

Grupujemy:
\\[x^3(x - y) - y^3(x - y) = (x^3 - y^3)(x - y)\\]

\n

Rozkładamy \\(x^3 - y^3\\) ze wzoru skróconego mnożenia:
\\[x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)\\]

\n

Ostatecznie:
\\[x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 = (x - y)^2(x^2 + xy + y^2)\\]

\n

Wystarczy wykazać, że oba czynniki są nieujemne:

\n
  1. \\((x - y)^2 \\geq 0\\) - kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny. ✓
\n
  1. \\(x^2 + xy + y^2 \\geq 0\\) dla \\(x, y \\geq 0\\) - suma trzech nieujemnych składników (bo \\(x \\geq 0, y \\geq 0\\)). ✓
\n

Zatem:
\\[(x - y)^2(x^2 + xy + y^2) \\geq 0\\]

\n

co oznacza:
\\[x^4 + y^4 \\geq x^3y + xy^3 \\quad \\text{c.n.d.}\\]

\n

Równość zachodzi, gdy \\(x = y\\) lub \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\).

\n

Wzory CKE: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\\).

"}]}