{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\no różnicy\n0\nr ≠\ni pierwszym wyrazie\n1\n2\na =\n. Pierwszy,\ndrugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem\nciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\no różnicy\n0\nr ≠\ni pierwszym wyrazie\n1\n2\na =\n. Pierwszy, drugi\ni czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\ngeometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.\nI sposób rozwiązania\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n2\n1\n2\na\na\nr\nr\n+ oraz\n4\n1\n3\n2\n3\na\na\nr\nr\n. Ciąg (\n)\n1\n2\n4\n,\n,\na a a\n, czyli (\n)\n2,2\n,2\n3\nr\nr\njest geometryczny, więc\nz własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie\nP\nN\nM\nO\nS\nA\nB\nR\nD\nC\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n11\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\nr\nr\n⋅\n,\n2\n4\n4\n4\n6\nr\nr\nr\n,\n2\n2\n0\nr\nr\n,\n(\n)\n2\n0\nr r -\nStąd\n0\nr =\nlub\n2\nr =\n. Jednak z założenia\n0\nr ≠\n, więc\n2\nr =\n. Ciąg geometryczny ma postać\n(\n)\n(\n)\n2,2\n2,2\n3 2\n2,4,8\n+ ⋅\n. Obliczamy iloraz tego ciągu:\n4\n2\n2\nq =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze wyrazy\n2\na i\n4\na w zależności od r (lub od\n1a i r), np.:\n2\n2\na\nr\n,\n4\n2\n3\na\nr\n(lub\n2\n1\na\na\nr\n,\n4\n1\n3\na\na\nr\n)\nalbo\n• zapisze zależność między wyrazami ciągu geometrycznego, np.:\n2\n1\n4\n2\na a\na\n⋅\n(lub\n2\n2\n4\n2\na\na\n)\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze wyrazy\n2\na i\n4\na w zależności od r (lub od\n1a i r), np.:\n2\n2\na\nr\n,\n4\n2\n3\na\nr\n(lub\n2\n1\na\na\nr\n,\n4\n1\n3\na\na\nr\n) oraz poda zależność między wyrazami ciągu geometrycznego,\nnp.:\n2\n1\n4\n2\na a\na\n⋅\n(lub\n2\n2\n4\n2\na\na\n) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\nr\nr\n⋅\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy iloraz ciągu:\n2\nq\nUwaga\nJeżeli zdający wyznaczy poprawnie\n0\nr =\nlub\n2\nr =\ni nie odrzuci\n0\nr =\ni doprowadzi\nrozwiązanie konsekwentnie do końca, podając dwa ciągi geometryczne i dwie wartości ilorazu,\nto otrzymuje 3 punkty.\nII sposób rozwiązania\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego (\n)\n1\n2\n4\n,\n,\na a a\n. Zatem\n2\n1\n2\na\na q\nq\ni\n2\n2\n4\n1\n2\na\na q\nq\nLiczby\n1\n2\na =\n,\n2\n2\na\nq\ni\n2\n4\n2\na\nq\nto odpowiednio pierwszy, drugi i czwarty wyraz ciągu\narytmetycznego, więc\n(\n)\n2\n1\n4\n1\n3 a\na\na\na\n,\n(\n)\n2\n3 2\n2\n2\n2\nq\nq\n,\n(\n)\n2\n3\n1\n1\nq\nq\n-,\n(\n)\n(\n)(\n)\n3\n1\n1\n1\nq\nq\nq\nZauważmy, że\n1\nq ≠, bo gdyby\n1\nq = , to ciąg (\n)\nna\nbyłby stały, co jest niemożliwe, bo\n0\nr ≠\nDzieląc obie strony otrzymanego równania przez\n1\nq - mamy\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n12\n3\n1\nq\n+ ,\n2\nq =\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze wyrazy\n2\na i\n4\na w zależności od q (lub od\n1a i q), np.:\n2\n2\na\nq\n,\n2\n4\n2\na\nq\n(lub\n2\n1\na\na q\n,\n2\n4\n1\na\na q\n)\nalbo\n• zapisze zależność między wyrazami ciągu arytmetycznego, np.: (\n)\n2\n1\n4\n1\n3 a\na\na\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze wyrazy\n2\na i\n4\na w zależności od q (lub od\n1a i q), np.:\n2\n2\na\nq\n,\n2\n4\n2\na\nq\n(lub\n2\n1\na\na q\n,\n2\n4\n1\na\na q\n) oraz zapisze zależność między wyrazami ciągu arytmetycznego, np.:\n(\n)\n2\n1\n4\n1\n3 a\na\na\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: (\n)\n2\n3 2\n2\n2\n2\nq\nq\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy iloraz ciągu:\n2\nq","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - iloraz ciągu geometrycznego wynosi \\(q = 2\\)\n\n## Sposób 1 - warunek ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego wyrazu)\n\n**Zapisujemy wyrazy ciągu arytmetycznego:**\n\\[a_1 = 2, \\quad a_2 = 2 + r, \\quad a_4 = 2 + 3r\\]\n\nTworzą one (w tej kolejności) ciąg geometryczny, oznaczmy go \\((b_n)\\):\n\\[b_1 = 2, \\quad b_2 = 2 + r, \\quad b_3 = 2 + 3r\\]\n\n**Kluczowy warunek ciągu geometrycznego** - kwadrat wyrazu środkowego = iloczyn sąsiednich:\n\\[b_2^2 = b_1 \\cdot b_3\\]\n\\[(2 + r)^2 = 2 \\cdot (2 + 3r)\\]\n\n**Rozwijamy i upraszczamy:**\n\\[4 + 4r + r^2 = 4 + 6r\\]\n\\[r^2 - 2r = 0\\]\n\\[r(r - 2) = 0\\]\n\nStąd \\(r = 0\\) lub \\(r = 2\\). Ponieważ z założenia \\(r \\neq 0\\), mamy \\(\\mathbf{r = 2}\\).\n\n**Wyrazy ciągu geometrycznego:**\n\\[b_1 = 2, \\quad b_2 = 4, \\quad b_3 = 8\\]\n\n**Iloraz ciągu geometrycznego:**\n\\[\\boxed{q = \\frac{b_2}{b_1} = \\frac{4}{2} = 2}\\]\n\n## Sposób 2 - wyrażenie wprost przez iloraz \\(q\\)\n\nOznaczmy szukany iloraz ciągu geometrycznego jako \\(q\\). Wtedy:\n\\[b_1 = 2, \\quad b_2 = 2q, \\quad b_3 = 2q^2\\]\n\nTe wyrazy to jednocześnie \\(a_1, a_2, a_4\\) ciągu arytmetycznego. Różnica ciągu arytmetycznego jest stała, więc:\n\\[a_2 - a_1 = r \\implies 2q - 2 = r\\]\n\\[a_4 - a_2 = 2r \\implies 2q^2 - 2q = 2r\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(r = 2(q - 1)\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[2q^2 - 2q = 2 \\cdot 2(q-1) = 4(q-1)\\]\n\\[2q^2 - 2q = 4q - 4\\]\n\\[2q^2 - 6q + 4 = 0\\]\n\\[q^2 - 3q + 2 = 0\\]\n\\[(q - 1)(q - 2) = 0\\]\n\nStąd \\(q = 1\\) lub \\(q = 2\\).\n\n- Jeśli \\(q = 1\\), to \\(r = 2(1-1) = 0\\) - **wykluczone**, bo \\(r \\neq 0\\).\n- Jeśli \\(q = 2\\), to \\(r = 2(2-1) = 2\\) - **akceptowalne**.\n\n**\\(q = 2\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: \\(b_2^2 = b_1 \\cdot b_3\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9)** - wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(a_2 = 2 + r\\) i \\(a_4 = 2 + 3r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(r \\neq 0\\) jest kluczowy - bez niego \\(r = 0\\) daje \"ciąg\" stały, który formalnie jest geometryczny z \\(q = 1\\), ale zadanie tego wyklucza. Uczniowie często zapominają sprawdzić ten warunek i podają \\(q = 1\\) jako drugi wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(a_4 = 2 + 3r\\) (nie \\(2 + 4r\\)!). Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) - przy \\(n = 4\\) mamy \\((4-1)r = 3r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 uczeń może zapomnieć sprawdzić, czy oba rozwiązania \\(q = 1\\) i \\(q = 2\\) są dopuszczalne. Zawsze weryfikuj warunki zadania po rozwiązaniu równania!\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(y = -3x + 16\\)\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nWierzchołki: \\(A = (-2, 2)\\), \\(B = (6, -2)\\), \\(C = (10, 6)\\).\n\nSprawdzamy, czy trójkąt jest równoramienmy:\n\\[|AB| = \\sqrt{8^2 + (-4)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{4^2 + 8^2} = \\sqrt{16 + 64} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\\[|AC| = \\sqrt{12^2 + 4^2} = \\sqrt{144 + 16} = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]\n\nPonieważ \\(|AB| = |BC| = 4\\sqrt{5}\\), trójkąt jest **równoramienny** z ramieniem przy wierzchołku \\(B\\).\n\nOś symetrii to **symetralna boku \\(AC\\)** (podstawy trójkąta równoramiennego).\n\nŚrodek \\(AC\\):\n\\[M = \\left(\\frac{-2+10}{2},\\; \\frac{2+6}{2}\\right) = (4, 4)\\]\n\nNachylenie \\(AC\\):\n\\[a_{AC} = \\frac{6-2}{10-(-2)} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3}\\]\n\nNachylenie symetralnej (prostopadłej):\n\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -3\\]\n\nRównanie prostej przez \\(M(4,4)\\) o nachyleniu \\(-3\\):\n\\[y - 4 = -3(x - 4)\\]\n\\[y = -3x + 16\\]\n\nSprawdzenie - punkt \\(B = (6, -2)\\) leży na osi: \\(-3(6) + 16 = -2\\) ✓\n\n**Wzory CKE**: Geometria analityczna (s. 22-23): odległość między punktami, proste prostopadłe \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), równanie kierunkowe prostej.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 32. (4 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny (
)
n
a
o różnicy
0
r ≠
i pierwszym wyrazie
1
2
a =
. Pierwszy,
drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem
ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (4 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny (
)
n
a
o różnicy
0
r ≠
i pierwszym wyrazie
1
2
a =
. Pierwszy, drugi
i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu
geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.
I sposób rozwiązania
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy
2
1
2
a
a
r
r

\n\n

4
1
3
2
3
a
a
r
r
. Ciąg (
)
1
2
4
,
,
a a a
, czyli (
)
2,2
,2
3
r
r
jest geometryczny, więc
z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie
P
N
M
O
S
A
B
R
D
C
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
11
(
)
(
)
2
2
2
2
3
r
r
⋅
,
2
4
4
4
6
r
r
r
,
2
2
0
r
r
,
(
)
2
0
r r -
Stąd
0
r =
lub
2
r =
. Jednak z założenia
0
r ≠
, więc
2
r =
. Ciąg geometryczny ma postać
(
)
(
)
2,2
2,2
3 2
2,4,8

\n\n

. Obliczamy iloraz tego ciągu:
4
2
2
q =
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze wyrazy
2
a i
4
a w zależności od r (lub od
1a i r), np.:
2
2
a
r
,
4
2
3
a
r
(lub
2
1
a
a
r
,
4
1
3
a
a
r
)
albo
• zapisze zależność między wyrazami ciągu geometrycznego, np.:
2
1
4
2
a a
a
⋅
(lub
2
2
4
2
a
a
)
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze wyrazy
2
a i
4
a w zależności od r (lub od
1a i r), np.:
2
2
a
r
,
4
2
3
a
r
(lub
2
1
a
a
r
,
4
1
3
a
a
r
) oraz poda zależność między wyrazami ciągu geometrycznego,
np.:
2
1
4
2
a a
a
⋅
(lub
2
2
4
2
a
a
) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: (
)
(
)
2
2
2
2
3
r
r
⋅
i na tym poprzestanie
lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający wyznaczy iloraz ciągu:
2
q
Uwaga
Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie
0
r =
lub
2
r =
i nie odrzuci
0
r =
i doprowadzi
rozwiązanie konsekwentnie do końca, podając dwa ciągi geometryczne i dwie wartości ilorazu,
to otrzymuje 3 punkty.
II sposób rozwiązania
Niech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego (
)
1
2
4
,
,
a a a
. Zatem
2
1
2
a
a q
q
i
2
2
4
1
2
a
a q
q
Liczby
1
2
a =
,
2
2
a
q
i
2
4
2
a
q
to odpowiednio pierwszy, drugi i czwarty wyraz ciągu
arytmetycznego, więc
(
)
2
1
4
1
3 a
a
a
a
,
(
)
2
3 2
2
2
2
q
q
,
(
)
2
3
1
1
q
q
-,
(
)
(
)(
)
3
1
1
1
q
q
q
Zauważmy, że
1
q ≠, bo gdyby
1
q = , to ciąg (
)
na
byłby stały, co jest niemożliwe, bo
0
r ≠
Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez
1
q - mamy
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
12
3
1
q

\n\n

2
q =
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze wyrazy
2
a i
4
a w zależności od q (lub od
1a i q), np.:
2
2
a
q
,
2
4
2
a
q
(lub
2
1
a
a q
,
2
4
1
a
a q
)
albo
• zapisze zależność między wyrazami ciągu arytmetycznego, np.: (
)
2
1
4
1
3 a
a
a
a
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze wyrazy
2
a i
4
a w zależności od q (lub od
1a i q), np.:
2
2
a
q
,
2
4
2
a
q
(lub
2
1
a
a q
,
2
4
1
a
a q
) oraz zapisze zależność między wyrazami ciągu arytmetycznego, np.:
(
)
2
1
4
1
3 a
a
a
a
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: (
)
2
3 2
2
2
2
q
q
i na tym poprzestanie
lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający wyznaczy iloraz ciągu:
2
q

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - iloraz ciągu geometrycznego wynosi \\(q = 2\\)

\n

Sposób 1 - warunek ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego wyrazu)

\n

Zapisujemy wyrazy ciągu arytmetycznego:
\\[a_1 = 2, \\quad a_2 = 2 + r, \\quad a_4 = 2 + 3r\\]

\n

Tworzą one (w tej kolejności) ciąg geometryczny, oznaczmy go \\((b_n)\\):
\\[b_1 = 2, \\quad b_2 = 2 + r, \\quad b_3 = 2 + 3r\\]

\n

Kluczowy warunek ciągu geometrycznego - kwadrat wyrazu środkowego = iloczyn sąsiednich:
\\[b_2^2 = b_1 \\cdot b_3\\]
\\[(2 + r)^2 = 2 \\cdot (2 + 3r)\\]

\n

Rozwijamy i upraszczamy:
\\[4 + 4r + r^2 = 4 + 6r\\]
\\[r^2 - 2r = 0\\]
\\[r(r - 2) = 0\\]

\n

Stąd \\(r = 0\\) lub \\(r = 2\\). Ponieważ z założenia \\(r \\neq 0\\), mamy \\(\\mathbf{r = 2}\\).

\n

Wyrazy ciągu geometrycznego:
\\[b_1 = 2, \\quad b_2 = 4, \\quad b_3 = 8\\]

\n

Iloraz ciągu geometrycznego:
\\[\\boxed{q = \\frac{b_2}{b_1} = \\frac{4}{2} = 2}\\]

\n

Sposób 2 - wyrażenie wprost przez iloraz \\(q\\)

\n

Oznaczmy szukany iloraz ciągu geometrycznego jako \\(q\\). Wtedy:
\\[b_1 = 2, \\quad b_2 = 2q, \\quad b_3 = 2q^2\\]

\n

Te wyrazy to jednocześnie \\(a_1, a_2, a_4\\) ciągu arytmetycznego. Różnica ciągu arytmetycznego jest stała, więc:
\\[a_2 - a_1 = r \\implies 2q - 2 = r\\]
\\[a_4 - a_2 = 2r \\implies 2q^2 - 2q = 2r\\]

\n

Z pierwszego równania: \\(r = 2(q - 1)\\). Podstawiamy do drugiego:
\\[2q^2 - 2q = 2 \\cdot 2(q-1) = 4(q-1)\\]
\\[2q^2 - 2q = 4q - 4\\]
\\[2q^2 - 6q + 4 = 0\\]
\\[q^2 - 3q + 2 = 0\\]
\\[(q - 1)(q - 2) = 0\\]

\n

Stąd \\(q = 1\\) lub \\(q = 2\\).

\n\n

\\(q = 2\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1: \\(b_2^2 = b_1 \\cdot b_3\\).

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9) - wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy do wyznaczenia \\(a_2 = 2 + r\\) i \\(a_4 = 2 + 3r\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(r \\neq 0\\) jest kluczowy - bez niego \\(r = 0\\) daje "ciąg" stały, który formalnie jest geometryczny z \\(q = 1\\), ale zadanie tego wyklucza. Uczniowie często zapominają sprawdzić ten warunek i podają \\(q = 1\\) jako drugi wynik.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(a_4 = 2 + 3r\\) (nie \\(2 + 4r\\)!). Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) - przy \\(n = 4\\) mamy \\((4-1)r = 3r\\).
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 uczeń może zapomnieć sprawdzić, czy oba rozwiązania \\(q = 1\\) i \\(q = 2\\) są dopuszczalne. Zawsze weryfikuj warunki zadania po rozwiązaniu równania!
\n

Poprawna odpowiedź: A - \\(y = -3x + 16\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Wierzchołki: \\(A = (-2, 2)\\), \\(B = (6, -2)\\), \\(C = (10, 6)\\).

\n

Sprawdzamy, czy trójkąt jest równoramienmy:
\\[|AB| = \\sqrt{8^2 + (-4)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]
\\[|BC| = \\sqrt{4^2 + 8^2} = \\sqrt{16 + 64} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]
\\[|AC| = \\sqrt{12^2 + 4^2} = \\sqrt{144 + 16} = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]

\n

Ponieważ \\(|AB| = |BC| = 4\\sqrt{5}\\), trójkąt jest równoramienny z ramieniem przy wierzchołku \\(B\\).

\n

Oś symetrii to symetralna boku \\(AC\\) (podstawy trójkąta równoramiennego).

\n

Środek \\(AC\\):
\\[M = \\left(\\frac{-2+10}{2},\\; \\frac{2+6}{2}\\right) = (4, 4)\\]

\n

Nachylenie \\(AC\\):
\\[a_{AC} = \\frac{6-2}{10-(-2)} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Nachylenie symetralnej (prostopadłej):
\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -3\\]

\n

Równanie prostej przez \\(M(4,4)\\) o nachyleniu \\(-3\\):
\\[y - 4 = -3(x - 4)\\]
\\[y = -3x + 16\\]

\n

Sprawdzenie - punkt \\(B = (6, -2)\\) leży na osi: \\(-3(6) + 16 = -2\\) ✓

\n

Wzory CKE: Geometria analityczna (s. 22-23): odległość między punktami, proste prostopadłe \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), równanie kierunkowe prostej.

"}]}