{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nWyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach\n(\n)\n2, 2\nA = -\n,\n(\n)\n6,\n2\nB =\n,\n(\n)\n10, 6\nC =\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nWyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach\n(\n)\n2, 2\nA = -\n,\n(\n)\n6,\n2\nB =\n,\n(\n)\n10, 6\nC =\nI sposób rozwiązania\nObliczamy długości boków trójkąta ABC:\n4 5\nAB\n,\n4 5\nBC\n,\n4 10\nAC\nZauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym\n4 5\nAB\nBC\n, więc osią symetrii\ntrójkąta ABC jest symetralna odcinka AC. By znaleźć równanie osi symetrii trójkąta\nwyznaczamy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\nWyznaczamy równanie prostej BS, korzystając ze wzoru na prostą przechodząca przez dwa\npunkty:\n(\n)\n2 4\n6 4\n4\n4\ny\nx\n,\n3\n16\ny\nx\nOdpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać:\n3\n16\ny\nx\nII sposób rozwiązania\nObliczamy długości boków trójkąta ABC:\n4 5\nAB\n,\n4 5\nBC\n,\n4 10\nAC\nZauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym\n4 5\nAB\nBC\n, więc osią symetrii\ntrójkąta ABC jest symetralna odcinka AC.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n13\nBy znaleźć równanie osi symetrii trójkąta, wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n1\n3\nAC\na\n, a następnie współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do AC:\n1\n3\nAC\na\na = -\nWyznaczamy równanie prostej zawierającej symetralną boku AC i przechodzącej przez\npunkt B:\n(\n)\n2\n3\n6\ny\nx\n,\n3\n16\ny\nx\nOdpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać:\n3\n16\ny\nx\nIII sposób rozwiązania\nObliczamy długości boków trójkąta ABC:\n4 5\nAB\n,\n4 5\nBC\n,\n4 10\nAC\nZauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym\n4 5\nAB\nBC\n, więc osią symetrii\ntrójkąta ABC jest symetralna odcinka AC. Zatem jego osią symetrii jest symetralna boku AC,\nbędąca zbiorem punktów równo oddalonych od obu końców odcinka.\nNiech\n)\n,\n(\ny\nx\nK\nbędzie punktem należącym do symetralnej boku AC. Zatem\nKC\nAK =\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n10\n6\nx\ny\nx\ny\n,\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n4\n100\n20\n36 12\nx\nx\ny\ny\nx\nx\ny\ny ,\n24\n8\n128\n0\nx\ny\n,\n3\n16\n0\nx\ny\n,\n3\n16\ny\nx\nOdpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać:\n3\n16\ny\nx\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy długości dwóch boków trójkąta ABC:\n4 5\nAB\n,\n4 10\nAC\ni\n4 5\nBC\nalbo\n• obliczy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\nalbo\n• obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n1\n3\nAC\na\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora AC\nalbo\n• zapisze, że szukaną osią symetrii jest symetralna boku AC\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• obliczy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\ni współczynnik kierunkowy prostej\nAC:\n1\n3\nAC\na\nalbo\n• uzasadni, że szukaną osią symetrii jest symetralna boku AC\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n14\nUwaga\nPrzyjmujemy, że jako uzasadnienie wystarczy rysunek w układzie współrzędnych.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\noraz współczynnik kierunkowy\nsymetralnej boku AC:\n3\na\nalbo\nobliczy współrzędne środka odcinka AC:\n(\n)\n4, 4\nS\noraz zapisze, że oś symetrii tego\ntrójkąta przechodzi przez punkt B\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora AC oraz zapisze, że oś symetrii tego trójkąta przechodzi\nprzez punkt B i jest prostopadła do wektora AC\nalbo\nzapisze równanie symetralnej boku AC: (\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n10\n6\nx\ny\nx\ny\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy równanie osi symetrii trójkąta ABC:\n3\n16\ny\nx\n(3\n16\n0\nx\ny\n).\nUwaga\nJeżeli zdający nie uzasadni, że osią symetrii trójkąta ABC jest symetralna boku AC (np. nie\nsporządzi rysunku w układzie współrzędnych albo po wyznaczeniu równania symetralnej boku\nAC nie sprawdzi, że punkt B leży na tej symetralnej), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: y = -3x + 16\n\nTrójkąt ma **dokładnie jedną oś symetrii** - jest trójkątem równoramiennym, a oś symetrii to prosta prostopadła do podstawy, przechodząca przez wierzchołek przy ramionach.\n\n## Sposób 1 - Znajdź równoramienny, wyznacz prostą przez wierzchołek i środek podstawy\n\n**Krok 1: Sprawdź długości boków**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(6-(-2))^2 + (-2-2)^2} = \\sqrt{8^2 + (-4)^2} = \\sqrt{64+16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\n\\[|BC| = \\sqrt{(10-6)^2 + (6-(-2))^2} = \\sqrt{4^2 + 8^2} = \\sqrt{16+64} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\n\\[|AC| = \\sqrt{(10-(-2))^2 + (6-2)^2} = \\sqrt{12^2 + 4^2} = \\sqrt{144+16} = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]\n\n**Wniosek:** \\(|AB| = |BC| = 4\\sqrt{5}\\), więc trójkąt jest **równoramienny** z ramionami \\(AB\\) i \\(BC\\) oraz podstawą \\(AC\\). Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek \\(B\\) i środek \\(M\\) odcinka \\(AC\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz środek M odcinka AC**\n\n\\[M = \\left(\\frac{-2+10}{2},\\ \\frac{2+6}{2}\\right) = (4,\\ 4)\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz równanie prostej przez B(6, -2) i M(4, 4)**\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{4-(-2)}{4-6} = \\frac{6}{-2} = -3\\]\n\nRównanie prostej:\n\\[y - (-2) = -3(x - 6)\\]\n\\[y + 2 = -3x + 18\\]\n\\[\\boxed{y = -3x + 16}\\]\n\n## Sposób 2 - Oś symetrii jako symetralną odcinka AC\n\nOś symetrii trójkąta równoramiennego z podstawą \\(AC\\) to **symetralna** odcinka \\(AC\\), czyli zbiór punktów \\((x, y)\\) jednakowo odległych od \\(A\\) i \\(C\\).\n\nWarunek równoodległości:\n\n\\[|PA|^2 = |PC|^2\\]\n\n\\[(x+2)^2 + (y-2)^2 = (x-10)^2 + (y-6)^2\\]\n\nRozwijamy:\n\\[x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 20x + 100 + y^2 - 12y + 36\\]\n\nSkracamy \\(x^2\\) i \\(y^2\\):\n\\[4x - 4y + 8 = -20x - 12y + 136\\]\n\n\\[24x + 8y = 128\\]\n\n\\[3x + y = 16\\]\n\n\\[\\boxed{y = -3x + 16}\\]\n\n**Weryfikacja:** Prosta przechodzi przez \\(B(6,-2)\\): \\(3\\cdot6 + (-2) = 18 - 2 = 16\\) ✓ i przez \\(M(4,4)\\): \\(3\\cdot4 + 4 = 16\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyta do obliczenia długości wszystkich trzech boków i wykrycia równoramienności.\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyta do wyznaczenia punktu \\(M\\) - środka podstawy \\(AC\\).\n\nRównanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\), gdzie \\(a = \\operatorname{tg}\\alpha\\)\nUżyte do zapisania równania osi symetrii.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zaczniesz szukać osi symetrii, SPRAWDŹ czy trójkąt jest równoramienny - ogólny trójkąt scalene nie ma żadnej osi symetrii!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, **który wierzchołek leży na osi**. Oś symetrii przebiega przez wierzchołek należący do **obu ramion** (tu: \\(B\\)), a nie przez wierzchołki podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego pamiętaj o kolejności: \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\), nie odwrotnie - pomylenie mianownika z licznikiem da błędne nachylenie prostej.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(V = \\frac{640\\sqrt{3}}{3}\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nPodstawa: prostokąt o bokach w stosunku \\(3:4\\) i polu \\(192\\).\n\nNiech boki to \\(3k\\) i \\(4k\\). Wtedy:\n\\[3k \\cdot 4k = 192 \\implies 12k^2 = 192 \\implies k^2 = 16 \\implies k = 4\\]\n\nBoki: \\(a = 12\\), \\(b = 16\\).\n\nPunkt \\(E\\) - środek prostokąta (przecięcie przekątnych). \\(SE\\) - wysokość ostrosłupa.\n\nDługość połowy przekątnej (odległość \\(E\\) od wierzchołka):\n\\[|EA| = \\frac{1}{2}\\sqrt{a^2 + b^2} = \\frac{1}{2}\\sqrt{144 + 256} = \\frac{1}{2}\\sqrt{400} = 10\\]\n\nKażda krawędź boczna jest nachylona pod kątem \\(30°\\) do podstawy. W trójkącie prostokątnym \\(SEA\\):\n\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{SE}{EA} = \\frac{h}{10}\\]\n\\[h = 10 \\cdot \\operatorname{tg}30° = 10 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{10\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nObjętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 192 \\cdot \\frac{10\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1920\\sqrt{3}}{9} = \\frac{640\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Wzory CKE**: Stereometria - ostrosłup (s. 27): \\(V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\); trygonometria (s. 11): \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach
(
)
2, 2
A = -
,
(
)
6,
2
B =
,
(
)
10, 6
C =

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach
(
)
2, 2
A = -
,
(
)
6,
2
B =
,
(
)
10, 6
C =
I sposób rozwiązania
Obliczamy długości boków trójkąta ABC:
4 5
AB
,
4 5
BC
,
4 10
AC
Zauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym
4 5
AB
BC
, więc osią symetrii
trójkąta ABC jest symetralna odcinka AC. By znaleźć równanie osi symetrii trójkąta
wyznaczamy współrzędne środka odcinka AC:
(
)
4, 4
S
Wyznaczamy równanie prostej BS, korzystając ze wzoru na prostą przechodząca przez dwa
punkty:
(
)
2 4
6 4
4
4
y
x
,
3
16
y
x
Odpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać:
3
16
y
x
II sposób rozwiązania
Obliczamy długości boków trójkąta ABC:
4 5
AB
,
4 5
BC
,
4 10
AC
Zauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym
4 5
AB
BC
, więc osią symetrii
trójkąta ABC jest symetralna odcinka AC.
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
13
By znaleźć równanie osi symetrii trójkąta, wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:
1
3
AC
a
, a następnie współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do AC:
1
3
AC
a
a = -
Wyznaczamy równanie prostej zawierającej symetralną boku AC i przechodzącej przez
punkt B:
(
)
2
3
6
y
x
,
3
16
y
x
Odpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać:
3
16
y
x
III sposób rozwiązania
Obliczamy długości boków trójkąta ABC:
4 5
AB
,
4 5
BC
,
4 10
AC
Zauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym
4 5
AB
BC
, więc osią symetrii
trójkąta ABC jest symetralna odcinka AC. Zatem jego osią symetrii jest symetralna boku AC,
będąca zbiorem punktów równo oddalonych od obu końców odcinka.
Niech
)
,
(
y
x
K
będzie punktem należącym do symetralnej boku AC. Zatem
KC
AK =
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
10
6
x
y
x
y
,
2
2
2
2
4
4
4
4
100
20
36 12
x
x
y
y
x
x
y
y ,
24
8
128
0
x
y
,
3
16
0
x
y
,
3
16
y
x
Odpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać:
3
16
y
x
Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• obliczy długości dwóch boków trójkąta ABC:
4 5
AB
,
4 10
AC
i
4 5
BC
albo
• obliczy współrzędne środka odcinka AC:
(
)
4, 4
S
albo
• obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC:
1
3
AC
a
albo
• obliczy współrzędne wektora AC
albo
• zapisze, że szukaną osią symetrii jest symetralna boku AC
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• obliczy współrzędne środka odcinka AC:
(
)
4, 4
S
i współczynnik kierunkowy prostej
AC:
1
3
AC
a
albo
• uzasadni, że szukaną osią symetrii jest symetralna boku AC
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
14
Uwaga
Przyjmujemy, że jako uzasadnienie wystarczy rysunek w układzie współrzędnych.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy współrzędne środka odcinka AC:
(
)
4, 4
S
oraz współczynnik kierunkowy
symetralnej boku AC:
3
a
albo
obliczy współrzędne środka odcinka AC:
(
)
4, 4
S
oraz zapisze, że oś symetrii tego
trójkąta przechodzi przez punkt B
albo
• obliczy współrzędne wektora AC oraz zapisze, że oś symetrii tego trójkąta przechodzi
przez punkt B i jest prostopadła do wektora AC
albo
zapisze równanie symetralnej boku AC: (
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
10
6
x
y
x
y
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający wyznaczy równanie osi symetrii trójkąta ABC:
3
16
y
x
(3
16
0
x
y
).
Uwaga
Jeżeli zdający nie uzasadni, że osią symetrii trójkąta ABC jest symetralna boku AC (np. nie
sporządzi rysunku w układzie współrzędnych albo po wyznaczeniu równania symetralnej boku
AC nie sprawdzi, że punkt B leży na tej symetralnej), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: y = -3x + 16

\n

Trójkąt ma dokładnie jedną oś symetrii - jest trójkątem równoramiennym, a oś symetrii to prosta prostopadła do podstawy, przechodząca przez wierzchołek przy ramionach.

\n

Sposób 1 - Znajdź równoramienny, wyznacz prostą przez wierzchołek i środek podstawy

\n

Krok 1: Sprawdź długości boków

\n

\\[|AB| = \\sqrt{(6-(-2))^2 + (-2-2)^2} = \\sqrt{8^2 + (-4)^2} = \\sqrt{64+16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]

\n

\\[|BC| = \\sqrt{(10-6)^2 + (6-(-2))^2} = \\sqrt{4^2 + 8^2} = \\sqrt{16+64} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]

\n

\\[|AC| = \\sqrt{(10-(-2))^2 + (6-2)^2} = \\sqrt{12^2 + 4^2} = \\sqrt{144+16} = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]

\n

Wniosek: \\(|AB| = |BC| = 4\\sqrt{5}\\), więc trójkąt jest równoramienny z ramionami \\(AB\\) i \\(BC\\) oraz podstawą \\(AC\\). Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek \\(B\\) i środek \\(M\\) odcinka \\(AC\\).

\n

Krok 2: Wyznacz środek M odcinka AC

\n

\\[M = \\left(\\frac{-2+10}{2},\\ \\frac{2+6}{2}\\right) = (4,\\ 4)\\]

\n

Krok 3: Wyznacz równanie prostej przez B(6, -2) i M(4, 4)

\n

Współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\frac{4-(-2)}{4-6} = \\frac{6}{-2} = -3\\]

\n

Równanie prostej:
\\[y - (-2) = -3(x - 6)\\]
\\[y + 2 = -3x + 18\\]
\\[\\boxed{y = -3x + 16}\\]

\n

Sposób 2 - Oś symetrii jako symetralną odcinka AC

\n

Oś symetrii trójkąta równoramiennego z podstawą \\(AC\\) to symetralna odcinka \\(AC\\), czyli zbiór punktów \\((x, y)\\) jednakowo odległych od \\(A\\) i \\(C\\).

\n

Warunek równoodległości:

\n

\\[|PA|^2 = |PC|^2\\]

\n

\\[(x+2)^2 + (y-2)^2 = (x-10)^2 + (y-6)^2\\]

\n

Rozwijamy:
\\[x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 20x + 100 + y^2 - 12y + 36\\]

\n

Skracamy \\(x^2\\) i \\(y^2\\):
\\[4x - 4y + 8 = -20x - 12y + 136\\]

\n

\\[24x + 8y = 128\\]

\n

\\[3x + y = 16\\]

\n

\\[\\boxed{y = -3x + 16}\\]

\n

Weryfikacja: Prosta przechodzi przez \\(B(6,-2)\\): \\(3\\cdot6 + (-2) = 18 - 2 = 16\\) ✓ i przez \\(M(4,4)\\): \\(3\\cdot4 + 4 = 16\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyta do obliczenia długości wszystkich trzech boków i wykrycia równoramienności.

\n

Środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyta do wyznaczenia punktu \\(M\\) - środka podstawy \\(AC\\).

\n

Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\), gdzie \\(a = \\operatorname{tg}\\alpha\\)
Użyte do zapisania równania osi symetrii.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zanim zaczniesz szukać osi symetrii, SPRAWDŹ czy trójkąt jest równoramienny - ogólny trójkąt scalene nie ma żadnej osi symetrii!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, który wierzchołek leży na osi. Oś symetrii przebiega przez wierzchołek należący do obu ramion (tu: \\(B\\)), a nie przez wierzchołki podstawy.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego pamiętaj o kolejności: \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\), nie odwrotnie - pomylenie mianownika z licznikiem da błędne nachylenie prostej.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(V = \\frac{640\\sqrt{3}}{3}\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Podstawa: prostokąt o bokach w stosunku \\(3:4\\) i polu \\(192\\).

\n

Niech boki to \\(3k\\) i \\(4k\\). Wtedy:
\\[3k \\cdot 4k = 192 \\implies 12k^2 = 192 \\implies k^2 = 16 \\implies k = 4\\]

\n

Boki: \\(a = 12\\), \\(b = 16\\).

\n

Punkt \\(E\\) - środek prostokąta (przecięcie przekątnych). \\(SE\\) - wysokość ostrosłupa.

\n

Długość połowy przekątnej (odległość \\(E\\) od wierzchołka):
\\[|EA| = \\frac{1}{2}\\sqrt{a^2 + b^2} = \\frac{1}{2}\\sqrt{144 + 256} = \\frac{1}{2}\\sqrt{400} = 10\\]

\n

Każda krawędź boczna jest nachylona pod kątem \\(30°\\) do podstawy. W trójkącie prostokątnym \\(SEA\\):
\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{SE}{EA} = \\frac{h}{10}\\]
\\[h = 10 \\cdot \\operatorname{tg}30° = 10 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{10\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 192 \\cdot \\frac{10\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1920\\sqrt{3}}{9} = \\frac{640\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Wzory CKE: Stereometria - ostrosłup (s. 27): \\(V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\); trygonometria (s. 11): \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).

"}]}