{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona\ndo płaszczyzny podstawy pod kątem\n°\n60 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona do\npłaszczyzny podstawy pod kątem\n°\n60 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPole jednej ściany bocznej jest równe 10, zatem\n10\n2\n1\nah\nO\nM\na\na\nH\nh\nS\n60°\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n15\nCosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy\n1\n2\ncos60\na\nh\n° =\nStąd\n1\n2\n1\n2\na\nh\n,\n1\n1\n2\n2\nh\na\n,\na\nh =\nPole ściany bocznej jest równe\n10\n2\n1\n2 =\na\n. Zatem długość krawędzi podstawy jest równa\n5\n2\na\n. Obliczamy wysokość bryły, korzystając z tw. Pitagorasa.\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\nH\na\nh\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\nH\nh\na\n,\n5\n20\n2\nH\n,\n15\n2 =\nH\nZatem wysokość ostrosłupa jest równa\n15\nH\nObliczamy objętość ostrosłupa\n3\n15\n20\n15\n20\n3\n1\n3\n1\n3\n1\n2\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nH\na\nH\nP\nV\np\nOdpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa\n20 15\n3\nV =\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\n• Zdający zapisze równanie:\n10\n2\n1\nah\nalbo\n• zdający zapisze zależność:\n1\n2\ncos60\na\nh\n° =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze układ równań:\n1\n2\n1\n2\n10\ncos60\nah\na\nh\n\n\n° =\n\nalbo\n• zapisze równanie\n10\n2\n1\n2 =\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nMatura z matematyki - poziom podstawowy - 2015\nKryteria oceniania odpowiedzi\n16\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy lub wysokość ściany bocznej:\n5\n2\n= h\na\ni na\ntym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.\nZdający\n• obliczy wysokość ostrosłupa:\n15\nH\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n• popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu długości krawędzi podstawy lub wysokości\nostrosłupa i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n20 15\n3\nV =","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{20\\sqrt{15}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - przez apotema i kąt nachylenia ściany bocznej\n\n**Oznaczenia:**\n- \\(a\\) - bok podstawy kwadratu\n- \\(h\\) - wysokość ostrosłupa\n- \\(l\\) - apotema boczna (wysokość ściany bocznej = trójkąta równoramiennego)\n- \\(m = \\frac{a}{2}\\) - apotema podstawy (odległość od środka do środka boku)\n\n**Krok 1: Kąt nachylenia ściany bocznej**\n\nKąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt dwuścienny mierzony wzdłuż linii przecięcia tych płaszczyzn (krawędź podstawy). W przekroju prostopadłym do tej krawędzi widzimy trójkąt prostokątny z:\n- podstawą \\(m = \\frac{a}{2}\\)\n- ramieniem pionowym \\(h\\)\n- apotema boczną \\(l\\) jako przeciwprostokątną\n\n\\[\\tan(60°) = \\frac{h}{m} = \\frac{h}{\\frac{a}{2}}\\]\n\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{2h}{a} \\implies h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 2: Długość apotemy bocznej \\(l\\)**\n\nZ trójkąta prostokątnego (pitagoras):\n\\[l^2 = h^2 + m^2 = \\frac{3a^2}{4} + \\frac{a^2}{4} = a^2\\]\n\\[l = a\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie \\(a\\) z pola ściany bocznej**\n\nKażda ściana boczna to trójkąt o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\):\n\\[P_{\\text{boczna}} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2} = 10\\]\n\n\\[\\boxed{a^2 = 20}\\]\n\n**Krok 4: Wysokość ostrosłupa**\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\implies h^2 = \\frac{3 \\cdot 20}{4} = 15 \\implies h = \\sqrt{15}\\]\n\n**Krok 5: Objętość**\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 20 \\cdot \\sqrt{15}\\]\n\n\\[\\boxed{V = \\frac{20\\sqrt{15}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - bezpośrednio przez funkcje trygonometryczne (bez wyznaczania \\(h\\) z \\(\\tan\\))\n\n**Kąt nachylenia ściany:** apotema boczna \\(l\\) tworzy kąt 60° z apotema podstawy \\(m = \\frac{a}{2}\\). Zatem:\n\n\\[\\cos(60°) = \\frac{m}{l} = \\frac{\\frac{a}{2}}{l} \\implies \\frac{1}{2} = \\frac{a}{2l} \\implies l = a\\]\n\n**Z pola ściany:**\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot a^2 = 10 \\implies a^2 = 20\\]\n\n**Wysokość z sinusa:**\n\\[\\sin(60°) = \\frac{h}{l} = \\frac{h}{a} \\implies h = a \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{20} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\sqrt{60}}{2} = \\sqrt{15}\\]\n\n**Objętość:**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 20 \\cdot \\sqrt{15} = \\frac{20\\sqrt{15}}{3}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia objętości z pola podstawy i wysokości.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\tan(60°) = \\sqrt{3}, \\quad \\sin(60°) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos(60°) = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy do powiązania wymiarów ostrosłupa z kątem nachylenia ściany.\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(a\\) z pola ściany bocznej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia ściany bocznej to **kąt dwuścienny** między ścianą a podstawą - mierzymy go wzdłuż apotemy bocznej, NIE wzdłuż krawędzi bocznej (to byłby inny kąt!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym apotema podstawy to \\(\\frac{a}{2}\\), a nie \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\) (to byłoby pół przekątnej kwadratu). Łatwo tu o pomyłkę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{20\\sqrt{15}}{3}\\) zostawiamy w postaci dokładnej - nie przeliczamy na przybliżenie dziesiętne, chyba że zadanie wyraźnie tego wymaga.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(a = -\\frac{1}{4}\\), \\(b = 3\\), \\(c = 0\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\n**Krok 1**: Analiza zbioru rozwiązań.\n\nNierówność \\(f(x) > 0\\) ma zbiór rozwiązań \\((0, 12)\\), więc:\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 12\\)\n- Parabola skierowana **ramionami w dół** (\\(a < 0\\)), bo \\(f(x) > 0\\) między pierwiastkami\n\n**Krok 2**: Postać iloczynowa.\n\\[f(x) = a(x - 0)(x - 12) = a \\cdot x(x - 12) = a(x^2 - 12x)\\]\n\nZatem: \\(b = -12a\\) oraz \\(c = 0\\) (bo \\(f(0) = 0\\)).\n\n**Krok 3**: Wyznaczenie \\(a\\) z warunku na wartość największą.\n\nWierzchołek paraboli (punkt maksimum, bo \\(a < 0\\)):\n\\[x_w = \\frac{0 + 12}{2} = 6\\]\n\nNajwiększa wartość:\n\\[f(6) = a \\cdot 6 \\cdot (6 - 12) = a \\cdot 6 \\cdot (-6) = -36a\\]\n\nZ warunku \\(f(6) = 9\\):\n\\[-36a = 9 \\implies a = -\\frac{9}{36} = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 4**: Obliczenie \\(b\\) i \\(c\\).\n\\[b = -12a = -12 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) = 3\\]\n\\[c = 0\\]\n\n**Sprawdzenie**: \\(f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 + 3x = -\\frac{1}{4}x(x - 12)\\)\n- \\(f(0) = 0\\) ✓, \\(f(12) = 0\\) ✓\n- \\(f(6) = -\\frac{36}{4} + 18 = -9 + 18 = 9\\) ✓\n- \\(f(x) > 0\\) na \\((0, 12)\\) ✓\n\n**Wzory CKE**: Funkcja kwadratowa (s. 7-9): postać iloczynowa \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\), wierzchołek \\(p = \\frac{x_1+x_2}{2}\\), \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 34. (5 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona
do płaszczyzny podstawy pod kątem
°
60 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (5 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem
°
60 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Pole jednej ściany bocznej jest równe 10, zatem
10
2
1
ah
O
M
a
a
H
h
S
60°
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
15
Cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy
1
2
cos60
a
h
° =
Stąd
1
2
1
2
a
h
,
1
1
2
2
h
a
,
a
h =
Pole ściany bocznej jest równe
10
2
1
2 =
a
. Zatem długość krawędzi podstawy jest równa
5
2
a
. Obliczamy wysokość bryły, korzystając z tw. Pitagorasa.
(
)
2
2
2
1
2
H
a
h
,
(
)
2
2
2
1
2
H
h
a
,
5
20
2
H
,
15
2 =
H
Zatem wysokość ostrosłupa jest równa
15
H
Obliczamy objętość ostrosłupa
3
15
20
15
20
3
1
3
1
3
1
2
⋅
⋅
⋅
⋅
H
a
H
P
V
p
Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa
20 15
3
V =
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
• Zdający zapisze równanie:
10
2
1
ah
albo
• zdający zapisze zależność:
1
2
cos60
a
h
° =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze układ równań:
1
2
1
2
10
cos60
ah
a
h


° =

albo
• zapisze równanie
10
2
1
2 =
a
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Matura z matematyki - poziom podstawowy - 2015
Kryteria oceniania odpowiedzi
16
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy długość krawędzi podstawy lub wysokość ściany bocznej:
5
2
= h
a
i na
tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.
Zdający
• obliczy wysokość ostrosłupa:
15
H
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
albo
• popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu długości krawędzi podstawy lub wysokości
ostrosłupa i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy objętość ostrosłupa:
20 15
3
V =

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{20\\sqrt{15}}{3}\\)

\n

Sposób 1 - przez apotema i kąt nachylenia ściany bocznej

\n

Oznaczenia:

\n\n

Krok 1: Kąt nachylenia ściany bocznej

\n

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt dwuścienny mierzony wzdłuż linii przecięcia tych płaszczyzn (krawędź podstawy). W przekroju prostopadłym do tej krawędzi widzimy trójkąt prostokątny z:

\n\n

\\[\\tan(60°) = \\frac{h}{m} = \\frac{h}{\\frac{a}{2}}\\]

\n

\\[\\sqrt{3} = \\frac{2h}{a} \\implies h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Krok 2: Długość apotemy bocznej \\(l\\)

\n

Z trójkąta prostokątnego (pitagoras):
\\[l^2 = h^2 + m^2 = \\frac{3a^2}{4} + \\frac{a^2}{4} = a^2\\]
\\[l = a\\]

\n

Krok 3: Wyznaczenie \\(a\\) z pola ściany bocznej

\n

Każda ściana boczna to trójkąt o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\):
\\[P_{\\text{boczna}} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2} = 10\\]

\n

\\[\\boxed{a^2 = 20}\\]

\n

Krok 4: Wysokość ostrosłupa

\n

\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\implies h^2 = \\frac{3 \\cdot 20}{4} = 15 \\implies h = \\sqrt{15}\\]

\n

Krok 5: Objętość

\n

\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 20 \\cdot \\sqrt{15}\\]

\n

\\[\\boxed{V = \\frac{20\\sqrt{15}}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - bezpośrednio przez funkcje trygonometryczne (bez wyznaczania \\(h\\) z \\(\\tan\\))

\n

Kąt nachylenia ściany: apotema boczna \\(l\\) tworzy kąt 60° z apotema podstawy \\(m = \\frac{a}{2}\\). Zatem:

\n

\\[\\cos(60°) = \\frac{m}{l} = \\frac{\\frac{a}{2}}{l} \\implies \\frac{1}{2} = \\frac{a}{2l} \\implies l = a\\]

\n

Z pola ściany:
\\[\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot a^2 = 10 \\implies a^2 = 20\\]

\n

Wysokość z sinusa:
\\[\\sin(60°) = \\frac{h}{l} = \\frac{h}{a} \\implies h = a \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{20} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\sqrt{60}}{2} = \\sqrt{15}\\]

\n

Objętość:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 20 \\cdot \\sqrt{15} = \\frac{20\\sqrt{15}}{3}\\]

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-27) - objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]
Użyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia objętości z pola podstawy i wysokości.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartości funkcji trygonometrycznych:
\\[\\tan(60°) = \\sqrt{3}, \\quad \\sin(60°) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos(60°) = \\frac{1}{2}\\]
Użyliśmy do powiązania wymiarów ostrosłupa z kątem nachylenia ściany.

\n

Dział 10 (Planimetria - trójkąt, s. 15) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
Użyliśmy do wyznaczenia \\(a\\) z pola ściany bocznej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia ściany bocznej to kąt dwuścienny między ścianą a podstawą - mierzymy go wzdłuż apotemy bocznej, NIE wzdłuż krawędzi bocznej (to byłby inny kąt!).
\n
⚠️ Uwaga: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym apotema podstawy to \\(\\frac{a}{2}\\), a nie \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\) (to byłoby pół przekątnej kwadratu). Łatwo tu o pomyłkę.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\frac{20\\sqrt{15}}{3}\\) zostawiamy w postaci dokładnej - nie przeliczamy na przybliżenie dziesiętne, chyba że zadanie wyraźnie tego wymaga.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(a = -\\frac{1}{4}\\), \\(b = 3\\), \\(c = 0\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Krok 1: Analiza zbioru rozwiązań.

\n

Nierówność \\(f(x) > 0\\) ma zbiór rozwiązań \\((0, 12)\\), więc:

\n\n

Krok 2: Postać iloczynowa.
\\[f(x) = a(x - 0)(x - 12) = a \\cdot x(x - 12) = a(x^2 - 12x)\\]

\n

Zatem: \\(b = -12a\\) oraz \\(c = 0\\) (bo \\(f(0) = 0\\)).

\n

Krok 3: Wyznaczenie \\(a\\) z warunku na wartość największą.

\n

Wierzchołek paraboli (punkt maksimum, bo \\(a < 0\\)):
\\[x_w = \\frac{0 + 12}{2} = 6\\]

\n

Największa wartość:
\\[f(6) = a \\cdot 6 \\cdot (6 - 12) = a \\cdot 6 \\cdot (-6) = -36a\\]

\n

Z warunku \\(f(6) = 9\\):
\\[-36a = 9 \\implies a = -\\frac{9}{36} = -\\frac{1}{4}\\]

\n

Krok 4: Obliczenie \\(b\\) i \\(c\\).
\\[b = -12a = -12 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) = 3\\]
\\[c = 0\\]

\n

Sprawdzenie: \\(f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 + 3x = -\\frac{1}{4}x(x - 12)\\)

\n\n

Wzory CKE: Funkcja kwadratowa (s. 7-9): postać iloczynowa \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\), wierzchołek \\(p = \\frac{x_1+x_2}{2}\\), \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\).

"}]}