{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nWyrażenie\n2)\n3\n(\n9\n-y\njest równe\nA.\n18\n2 +\n-y\nB.\ny\ny\n6\n2 +\nC.\n2\ny\nD.\n18\n6\n2\ny\ny","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-y^2 + 6y\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie nawiasu i uproszczenie\n\nMamy do obliczenia: \\(9 - (y-3)^2\\)\n\n**Krok 1:** Rozwijamy \\((y-3)^2\\) wzorem na kwadrat różnicy:\n\\[(y-3)^2 = y^2 - 2 \\cdot y \\cdot 3 + 3^2 = y^2 - 6y + 9\\]\n\n**Krok 2:** Podstawiamy do wyrażenia i rozpisujemy nawias z minusem:\n\\[9 - (y^2 - 6y + 9) = 9 - y^2 + 6y - 9\\]\n\n**Krok 3:** Redukujemy wyrazy wolne (\\(9 - 9 = 0\\)):\n\\[= -y^2 + 6y\\]\n\n**Wynik: \\(-y^2 + 6y\\)**, czyli odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że \\(9 = 3^2\\), więc możemy zastosować wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\n\\[9 - (y-3)^2 = 3^2 - (y-3)^2\\]\n\nTutaj \\(a = 3\\), \\(b = (y-3)\\):\n\\[(3 - (y-3))\\cdot(3 + (y-3))\\]\n\nUpraszczamy każdy nawias:\n\\[(3 - y + 3)\\cdot(3 + y - 3) = (6 - y)\\cdot y\\]\n\nWymnażamy:\n\\[= 6y - y^2 = -y^2 + 6y\\]\n\n**Wynik: \\(-y^2 + 6y\\)** - ten sam co w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((y-3)^2\\).\n\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - zamiana \\(9 - (y-3)^2\\) na iloczyn.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Pominięcie członu \\(-6y\\) - uczeń liczy \\((y-3)^2 = y^2 - 9\\) zamiast \\(y^2 - 6y + 9\\), dostaje \\(9 - y^2 + 9 = -y^2 + 18\\) |\n| C | Zapomnienie o wyrazie wolnym \\(+9\\) w rozwinięciu i nieuwzględnienie \\(9\\) z przodu - liczy \\((y-3)^2 = y^2\\) i dostaje \\(9 - y^2\\), a potem „upraszcza\" do \\(-y^2\\) |\n| D | Pomylenie znaku przy rozpisywaniu minusa przed nawiasem: uczeń pisze \\(-y^2 + 6y + 9\\) zamiast \\(-y^2 + 6y - 9\\), i nie redukuje z zewnętrznym \\(9\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus przed nawiasem zmienia znaki WSZYSTKICH wyrazów wewnątrz - łatwo zapomnieć o zamianie znaku przy \\(-6y\\) i \\(+9\\). Zawsze rozpisuj: \\(-(y^2 - 6y + 9) = -y^2 + 6y - 9\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((y - 3)^2 \\neq y^2 - 9\\) - to bardzo częsty błąd! Kwadrat różnicy ma trzy wyrazy, nie dwa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrazy wolne \\(+9\\) i \\(-9\\) redukują się do zera - wynik nie ma wyrazu wolnego. Jeśli wyszło Ci coś z samą liczbą (np. \\(+18\\) lub \\(+9\\)), to znak, że coś poszło nie tak z rozwinięciem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - 25\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nRozwijamy \\((a+5)^2\\) ze wzoru skróconego mnożenia:\n\\[(a+5)^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 5 + 25 = a^2 + 10a + 25\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\\[(a+5)^2 - (a^2 + 10a) = a^2 + 10a + 25 - a^2 - 10a = 25\\]\n\nWartość \\((a+5)^2\\) jest większa od \\(a^2 + 10a\\) o **25** - niezależnie od wartości \\(a\\).\n\n**Wzory CKE**: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. 50 - błąd: podwojenie stałej 25.\n- B. 10 - wynik zapomnienia o wyrazie \\(25\\), wzięcie tylko \\(2 \\cdot 5\\).\n- C. 5 - wzięcie samej podstawy zamiast kwadratu.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 6. (1 pkt)
Wyrażenie
2)
3
(
9
-y
jest równe
A.
18
2 +
-y
B.
y
y
6
2 +
C.
2
y
D.
18
6
2
y
y

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(-y^2 + 6y\\)

\n

Sposób 1 - Rozwinięcie nawiasu i uproszczenie

\n

Mamy do obliczenia: \\(9 - (y-3)^2\\)

\n

Krok 1: Rozwijamy \\((y-3)^2\\) wzorem na kwadrat różnicy:
\\[(y-3)^2 = y^2 - 2 \\cdot y \\cdot 3 + 3^2 = y^2 - 6y + 9\\]

\n

Krok 2: Podstawiamy do wyrażenia i rozpisujemy nawias z minusem:
\\[9 - (y^2 - 6y + 9) = 9 - y^2 + 6y - 9\\]

\n

Krok 3: Redukujemy wyrazy wolne (\\(9 - 9 = 0\\)):
\\[= -y^2 + 6y\\]

\n

Wynik: \\(-y^2 + 6y\\), czyli odpowiedź B.

\n

Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów

\n

Zauważamy, że \\(9 = 3^2\\), więc możemy zastosować wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):

\n

\\[9 - (y-3)^2 = 3^2 - (y-3)^2\\]

\n

Tutaj \\(a = 3\\), \\(b = (y-3)\\):
\\[(3 - (y-3))\\cdot(3 + (y-3))\\]

\n

Upraszczamy każdy nawias:
\\[(3 - y + 3)\\cdot(3 + y - 3) = (6 - y)\\cdot y\\]

\n

Wymnażamy:
\\[= 6y - y^2 = -y^2 + 6y\\]

\n

Wynik: \\(-y^2 + 6y\\) - ten sam co w Sposobie 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((y-3)^2\\).

\n

\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 - zamiana \\(9 - (y-3)^2\\) na iloczyn.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Pominięcie członu \\(-6y\\) - uczeń liczy \\((y-3)^2 = y^2 - 9\\) zamiast \\(y^2 - 6y + 9\\), dostaje \\(9 - y^2 + 9 = -y^2 + 18\\) |
| C | Zapomnienie o wyrazie wolnym \\(+9\\) w rozwinięciu i nieuwzględnienie \\(9\\) z przodu - liczy \\((y-3)^2 = y^2\\) i dostaje \\(9 - y^2\\), a potem „upraszcza" do \\(-y^2\\) |
| D | Pomylenie znaku przy rozpisywaniu minusa przed nawiasem: uczeń pisze \\(-y^2 + 6y + 9\\) zamiast \\(-y^2 + 6y - 9\\), i nie redukuje z zewnętrznym \\(9\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Minus przed nawiasem zmienia znaki WSZYSTKICH wyrazów wewnątrz - łatwo zapomnieć o zamianie znaku przy \\(-6y\\) i \\(+9\\). Zawsze rozpisuj: \\(-(y^2 - 6y + 9) = -y^2 + 6y - 9\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\((y - 3)^2 \\neq y^2 - 9\\) - to bardzo częsty błąd! Kwadrat różnicy ma trzy wyrazy, nie dwa.
\n
⚠️ Uwaga: Wyrazy wolne \\(+9\\) i \\(-9\\) redukują się do zera - wynik nie ma wyrazu wolnego. Jeśli wyszło Ci coś z samą liczbą (np. \\(+18\\) lub \\(+9\\)), to znak, że coś poszło nie tak z rozwinięciem.
\n

Poprawna odpowiedź: D - 25

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Rozwijamy \\((a+5)^2\\) ze wzoru skróconego mnożenia:
\\[(a+5)^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 5 + 25 = a^2 + 10a + 25\\]

\n

Obliczamy różnicę:
\\[(a+5)^2 - (a^2 + 10a) = a^2 + 10a + 25 - a^2 - 10a = 25\\]

\n

Wartość \\((a+5)^2\\) jest większa od \\(a^2 + 10a\\) o 25 - niezależnie od wartości \\(a\\).

\n

Wzory CKE: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n"}]}