Zadanie 7. (1 pkt)
Iloczyn liczb spełniających równanie
2
1
25
0
2
4
x
jest równy
A. 6
B.
5
C. 5
D.
6
Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Poziom podstawowy
MMA_1P
33
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Iloczyn liczb spełniających równanie wynosi \\(-6\\).
\nMamy równanie w postaci kanonicznej - prawa strona to kwadrat liczby, więc możemy pierwiastkować.
\n\\[\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 - \\frac{25}{4} = 0\\]
\nPrzenosimy \\(\\frac{25}{4}\\) na prawą stronę:
\n\\[\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 = \\frac{25}{4}\\]
\nPierwiastkujemy obu stron - pamiętamy o \\(\\pm\\):
\n\\[x - \\frac{1}{2} = \\pm\\frac{5}{2}\\]
\nPrzypadek 1:
\\[x - \\frac{1}{2} = \\frac{5}{2} \\implies x = \\frac{5}{2} + \\frac{1}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]
Przypadek 2:
\\[x - \\frac{1}{2} = -\\frac{5}{2} \\implies x = -\\frac{5}{2} + \\frac{1}{2} = -\\frac{4}{2} = -2\\]
Pierwiastki to \\(x_1 = 3\\) i \\(x_2 = -2\\). Iloczyn:
\n\\[\\boxed{x_1 \\cdot x_2 = 3 \\cdot (-2) = -6}\\]
\nRozwijamy równanie do postaci ogólnej \\(ax^2 + bx + c = 0\\):
\n\\[\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 - \\frac{25}{4} = 0\\]
\n\\[x^2 - x + \\frac{1}{4} - \\frac{25}{4} = 0\\]
\n\\[x^2 - x + \\frac{1 - 25}{4} = 0\\]
\n\\[x^2 - x - 6 = 0\\]
\nOdczytujemy: \\(a = 1\\), \\(b = -1\\), \\(c = -6\\).
\nZe wzoru Viète'a iloczyn pierwiastków to wprost:
\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = \\frac{-6}{1} = \\mathbf{-6}\\]
\nNie trzeba nawet liczyć \\(\\Delta\\)!
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyliśmy tego w Sposob 2, żeby natychmiast odczytać iloczyn pierwiastków bez wyznaczania ich wartości.
Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - \\(\\sqrt{a^2} = |a|\\), co uzasadnia \\(\\pm\\) przy pierwiastkowaniu w Sposobie 1.
\nTypowe błędne odpowiedzi i błędy, które do nich prowadzą:
\n| Wynik | Błąd |
| \\(+6\\) | Wzięto \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\) ale zapomniano o znaku: \\(c = -6\\), nie \\(+6\\) |
| \\(-3\\) | Pomylono sumę z iloczynem: \\(x_1 + x_2 = \\frac{-b}{a} = 1\\) albo błąd przy dodawaniu ułamków w rozwinięciu |
| \\(+3\\) | Wzięto tylko jeden pierwiastek \\(x_1 = 3\\) i podano go zamiast iloczynu |
⚠️ Uwaga: Przy \\(\\sqrt{\\frac{25}{4}} = \\frac{5}{2}\\) pamiętaj o obu znakach \\(\\pm\\) - to najczęstszy błąd. Bez minusa gubisz jeden pierwiastek.\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o iloczyn pierwiastków, nie o ich sumę. To dwie różne rzeczy - nie mylić \\(\\frac{c}{a}\\) z \\(\\frac{-b}{a}\\).\n
⚠️ Uwaga: Rozwijając \\(\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2\\) łatwo pomylić znak: \\(\\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 = x^2 - x + \\frac{1}{4}\\), nie \\(x^2 + x + \\frac{1}{4}\\).\n
Poprawna odpowiedź: C - rysunek z prostymi przecinającymi się w III ćwiartce.
\nSposób rozwiązania:
\nRozwiązujemy układ równań:
\\[\\begin{cases} x + 3y = -5 \\\\ 3x - 2y = -4 \\end{cases}\\]
Z pierwszego równania: \\(x = -5 - 3y\\)
\nPodstawiamy do drugiego:
\\[3(-5 - 3y) - 2y = -4\\]
\\[-15 - 9y - 2y = -4\\]
\\[-11y = 11 \\implies y = -1\\]
\\[x = -5 - 3(-1) = -5 + 3 = -2\\]
Punkt przecięcia: \\((-2, -1)\\) - leży w III ćwiartce (obie współrzędne ujemne).
\nNachylenia prostych:
\nSzukamy rysunku z dwiema prostymi przecinającymi się w lewej dolnej ćwiartce.
\nWzory CKE: Geometria analityczna (s. 22-25), równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\).
"}]}