{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nWierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y =\n( )\nf x ma współrzędne\n(\n)\n2, 2 . Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji\n( )\n(\n)\n2\ng x\nf x\nma\nwspółrzędne\nA. (\n)\n0, 2\nB. (\n)\n4, 2\nC. (\n)\n2, 0\nD. (\n)\n2, 4","answer":"A","answer_text":"3\n)(\nx\n1\n)\n0\n. Stąd (\n2 2\nx\n3\n)(\n2 2\nx\n3\n)(\nx\n1\n)\n0\n, czyli\nx\nlub\nx\nlub","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((0, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna i podstawienie\n\nSkoro wierzchołek paraboli \\(f\\) ma współrzędne \\((2, 2)\\), możemy zapisać \\(f\\) w **postaci kanonicznej**:\n\n\\[f(x) = a(x - 2)^2 + 2\\]\n\ndla pewnego \\(a \\neq 0\\). Teraz wyznaczamy \\(g(x)\\):\n\n\\[g(x) = f(x + 2) = a\\bigl((x+2) - 2\\bigr)^2 + 2\\]\n\n\\[g(x) = a(x)^2 + 2 = ax^2 + 2\\]\n\nTo postać kanoniczna \\(g(x) = a(x - 0)^2 + 2\\), więc **wierzchołek paraboli \\(g\\) to \\((0, 2)\\)**.\n\n## Sposób 2 - Reguła przesunięcia wykresu\n\nZastąpienie \\(x\\) przez \\(x + 2\\) w \\(f(x)\\) to **przesunięcie wykresu o 2 jednostki w lewo** (oś pozioma).\n\nDlaczego w lewo? Bo \\(g(x) = f(x+2)\\) - gdy chcemy mieć tę samą wartość co \\(f\\) w punkcie \\(x_0\\), potrzebujemy \\(g(x_0 - 2) = f(x_0)\\). Cały wykres \"wędruje\" w lewo.\n\nWierzchołek \\(f\\): \\((2, 2)\\)\n\nPrzesunięcie o \\(-2\\) wzdłuż osi \\(x\\):\n\\[(2 - 2,\\ 2) = (0, 2)\\]\n\nWspółrzędna \\(y\\) **nie zmienia się** - przesunięcie poziome nie wpływa na wysokość wierzchołka.\n\n**Wynik: \\((0, 2)\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n\nUżyliśmy jej do zapisania \\(f\\) z wierzchołkiem \\((2, 2)\\) jako \\(f(x) = a(x-2)^2 + 2\\), co pozwoliło wprost podstawić \\(x+2\\) i odczytać nowy wierzchołek.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\((4, 2)\\) | Przesunięcie w **prawo** zamiast w lewo - mylenie znaku: \\(f(x+2)\\) to ruch w lewo, nie \\(f(x-2)\\) |\n| **C** \\((2, 0)\\) | Odjęcie 2 od **współrzędnej \\(y\\)** zamiast \\(x\\) - przesunięcie pionowe zamiast poziomego |\n| **D** \\((2, 4)\\) | Dodanie 2 do **współrzędnej \\(y\\)** - przesunięcie pionowe zamiast poziomego |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zamiana \\(x \\to x+2\\) przesuwa wykres w **lewo** (o \\(-2\\)), a nie w prawo! Intuicja często mówi \"dodaję 2, więc przesuwam w prawo\" - to klasyczny błąd. Zapamiętaj: \\(f(x - p)\\) → przesunięcie w prawo o \\(p\\); \\(f(x + p)\\) → przesunięcie w lewo o \\(p\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie poziome zmienia **tylko** pierwszą współrzędną wierzchołka. Współrzędna \\(y\\) (wartość maksimum/minimum) pozostaje bez zmian.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać \\(a\\) ani pełnego wzoru \\(f(x)\\) - wystarczy postać kanoniczna z wierzchołkiem. Zadania tego typu można rozwiązać w 2 liniach, jeśli od razu piszesz \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - 0\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\[2(x - 2) \\leq 4(x - 1) + 1\\]\n\\[2x - 4 \\leq 4x - 4 + 1\\]\n\\[2x - 4 \\leq 4x - 3\\]\n\\[-4 + 3 \\leq 4x - 2x\\]\n\\[-1 \\leq 2x\\]\n\\[x \\geq -\\frac{1}{2}\\]\n\nNajmniejsza liczba całkowita spełniająca \\(x \\geq -\\frac{1}{2}\\) to \\(x = 0\\).\n\nSprawdzenie: dla \\(x = 0\\): \\(2(0-2) = -4 \\leq 4(0-1)+1 = -3\\). ✓\nDla \\(x = -1\\): \\(2(-3) = -6 \\leq 4(-2)+1 = -7\\)? Nie, \\(-6 > -7\\). ✗\n\n**Wzory CKE**: Nierówności liniowe (algebra).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne**:\n- A. \\(-2\\) i B. \\(-1\\) - nie spełniają nierówności (leżą poniżej \\(-\\frac{1}{2}\\)).\n- D. \\(1\\) - spełnia nierówność, ale nie jest najmniejszą liczbą całkowitą.","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y =
( )
f x ma współrzędne
(
)
2, 2 . Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji
( )
(
)
2
g x
f x
ma
współrzędne
A. (
)
0, 2
B. (
)
4, 2
C. (
)
2, 0
D. (
)
2, 4

","answer_text_html":"

3
)(
x
1
)
0
. Stąd (
2 2
x
3
)(
2 2
x
3
)(
x
1
)
0
, czyli
x
lub
x
lub

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\((0, 2)\\)

\n

Sposób 1 - Postać kanoniczna i podstawienie

\n

Skoro wierzchołek paraboli \\(f\\) ma współrzędne \\((2, 2)\\), możemy zapisać \\(f\\) w postaci kanonicznej:

\n

\\[f(x) = a(x - 2)^2 + 2\\]

\n

dla pewnego \\(a \\neq 0\\). Teraz wyznaczamy \\(g(x)\\):

\n

\\[g(x) = f(x + 2) = a\\bigl((x+2) - 2\\bigr)^2 + 2\\]

\n

\\[g(x) = a(x)^2 + 2 = ax^2 + 2\\]

\n

To postać kanoniczna \\(g(x) = a(x - 0)^2 + 2\\), więc wierzchołek paraboli \\(g\\) to \\((0, 2)\\).

\n

Sposób 2 - Reguła przesunięcia wykresu

\n

Zastąpienie \\(x\\) przez \\(x + 2\\) w \\(f(x)\\) to przesunięcie wykresu o 2 jednostki w lewo (oś pozioma).

\n

Dlaczego w lewo? Bo \\(g(x) = f(x+2)\\) - gdy chcemy mieć tę samą wartość co \\(f\\) w punkcie \\(x_0\\), potrzebujemy \\(g(x_0 - 2) = f(x_0)\\). Cały wykres "wędruje" w lewo.

\n

Wierzchołek \\(f\\): \\((2, 2)\\)

\n

Przesunięcie o \\(-2\\) wzdłuż osi \\(x\\):
\\[(2 - 2,\\ 2) = (0, 2)\\]

\n

Współrzędna \\(y\\) nie zmienia się - przesunięcie poziome nie wpływa na wysokość wierzchołka.

\n

Wynik: \\((0, 2)\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]

\n

Użyliśmy jej do zapisania \\(f\\) z wierzchołkiem \\((2, 2)\\) jako \\(f(x) = a(x-2)^2 + 2\\), co pozwoliło wprost podstawić \\(x+2\\) i odczytać nowy wierzchołek.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B \\((4, 2)\\) | Przesunięcie w prawo zamiast w lewo - mylenie znaku: \\(f(x+2)\\) to ruch w lewo, nie \\(f(x-2)\\) |
| C \\((2, 0)\\) | Odjęcie 2 od współrzędnej \\(y\\) zamiast \\(x\\) - przesunięcie pionowe zamiast poziomego |
| D \\((2, 4)\\) | Dodanie 2 do współrzędnej \\(y\\) - przesunięcie pionowe zamiast poziomego |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Zamiana \\(x \\to x+2\\) przesuwa wykres w lewo (o \\(-2\\)), a nie w prawo! Intuicja często mówi "dodaję 2, więc przesuwam w prawo" - to klasyczny błąd. Zapamiętaj: \\(f(x - p)\\) → przesunięcie w prawo o \\(p\\); \\(f(x + p)\\) → przesunięcie w lewo o \\(p\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przesunięcie poziome zmienia tylko pierwszą współrzędną wierzchołka. Współrzędna \\(y\\) (wartość maksimum/minimum) pozostaje bez zmian.
\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz znać \\(a\\) ani pełnego wzoru \\(f(x)\\) - wystarczy postać kanoniczna z wierzchołkiem. Zadania tego typu można rozwiązać w 2 liniach, jeśli od razu piszesz \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C - 0

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Rozwiązujemy nierówność:
\\[2(x - 2) \\leq 4(x - 1) + 1\\]
\\[2x - 4 \\leq 4x - 4 + 1\\]
\\[2x - 4 \\leq 4x - 3\\]
\\[-4 + 3 \\leq 4x - 2x\\]
\\[-1 \\leq 2x\\]
\\[x \\geq -\\frac{1}{2}\\]

\n

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca \\(x \\geq -\\frac{1}{2}\\) to \\(x = 0\\).

\n

Sprawdzenie: dla \\(x = 0\\): \\(2(0-2) = -4 \\leq 4(0-1)+1 = -3\\). ✓
Dla \\(x = -1\\): \\(2(-3) = -6 \\leq 4(-2)+1 = -7\\)? Nie, \\(-6 > -7\\). ✗

\n

Wzory CKE: Nierówności liniowe (algebra).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n"}]}