{"id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2015,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nMiejsce zerowe funkcji liniowej\n( )\n3\nf x\nx\nm\njest większe od 2 dla każdej liczby m\nspełniającej warunek\nA.\n2\n3\nm < -\nB.\n2\n1\n3\n3\nm\n<\n<\nC. 1\n1\n3\nm\n<\n<\nD.\n1\nm >","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m < -\\frac{2}{3}\\)\n\nMiejsce zerowe funkcji \\(f(x) = x + 3m\\) jest większe od \\(2\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(m < -\\frac{2}{3}\\).\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie miejsca zerowego i rozwiązanie nierówności\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji.**\n\nMiejsce zerowe to wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\):\n\\[x + 3m = 0\\]\n\\[x = -3m\\]\n\n**Krok 2: Stawiamy warunek, że miejsce zerowe jest większe od 2.**\n\n\\[-3m > 2\\]\n\n**Krok 3: Dzielimy obie strony przez \\(-3\\) - pamiętamy o zmianie kierunku nierówności!**\n\n\\[m < \\frac{2}{-3}\\]\n\\[\\boxed{m < -\\frac{2}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - interpretacja graficzna / weryfikacja\n\n**Interpretacja graficzna:**\n\nFunkcja \\(f(x) = x + 3m\\) to prosta o współczynniku kierunkowym \\(a = 1 > 0\\) (rosnąca).\n\nProsta rosnąca przecina oś \\(OX\\) w punkcie \\(x_0 = -3m\\).\n\nChcemy, żeby miejsce zerowe było po **prawej stronie** punktu \\(x = 2\\) na osi:\n\n\\[-3m > 2\\]\n\nCzyli szukamy takich \\(m\\), dla których \\(-3m\\) leży na prawo od \\(2\\) na osi liczbowej.\n\n\\[-3m > 2 \\implies m < -\\frac{2}{3}\\]\n\n**Weryfikacja przykładem:**\n\nWeźmy \\(m = -1\\) (spełnia \\(m < -\\frac{2}{3}\\)):\n\\[f(x) = x + 3 \\cdot (-1) = x - 3 \\implies x_0 = 3 > 2 \\checkmark\\]\n\nWeźmy \\(m = 0\\) (nie spełnia warunku):\n\\[f(x) = x + 0 = x \\implies x_0 = 0 \\not> 2 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (f(x) = 0) i elementarne rozwiązanie nierówności liniowej.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzieląc nierówność przez liczbę **ujemną** (tu: przez \\(-3\\)), musisz **odwrócić kierunek nierówności**. Najczęstszy błąd: uczeń pisze \\(m > -\\frac{2}{3}\\) zamiast \\(m < -\\frac{2}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić miejsca zerowego z wartością \\(f(0)\\)! Miejsce zerowe to \\(x\\) takie, że \\(f(x) = 0\\), a nie wartość funkcji w zerze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parametr \\(m\\) w wyrażeniu \\(3m\\) to stała - traktuj je jak jeden wyraz przy wyznaczaniu \\(x_0\\). Nie rozbijaj na \\(3 \\cdot m\\) osobno.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)**\n\n**Sposób rozwiązania**:\n\nRównianie: \\(x^2(x+1) = x^2 - 8\\)\n\nPrzenosimy na jedną stronę:\n\\[x^2(x+1) - x^2 + 8 = 0\\]\n\\[x^3 + x^2 - x^2 + 8 = 0\\]\n\\[x^3 + 8 = 0\\]\n\\[x^3 = -8\\]\n\\[x = \\sqrt[3]{-8} = -2\\]\n\nSprawdzenie: \\((-2)^2(-2+1) = 4 \\cdot (-1) = -4\\) oraz \\((-2)^2 - 8 = 4 - 8 = -4\\). ✓\n\n**Uwaga**: Można też rozłożyć \\(x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0\\). Wyróżnik \\(x^2 - 2x + 4\\): \\(\\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\\), więc jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest \\(x = -2\\).\n\n**Wzory CKE**: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\).","image":"img/matematyka-2015-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 9. (1 pkt)
Miejsce zerowe funkcji liniowej
( )
3
f x
x
m
jest większe od 2 dla każdej liczby m
spełniającej warunek
A.
2
3
m < -
B.
2
1
3
3
m
<
<
C. 1
1
3
m
<
<
D.
1
m >

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(m < -\\frac{2}{3}\\)

\n

Miejsce zerowe funkcji \\(f(x) = x + 3m\\) jest większe od \\(2\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(m < -\\frac{2}{3}\\).

\n

Sposób 1 - wyznaczenie miejsca zerowego i rozwiązanie nierówności

\n

Krok 1: Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji.

\n

Miejsce zerowe to wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\):
\\[x + 3m = 0\\]
\\[x = -3m\\]

\n

Krok 2: Stawiamy warunek, że miejsce zerowe jest większe od 2.

\n

\\[-3m > 2\\]

\n

Krok 3: Dzielimy obie strony przez \\(-3\\) - pamiętamy o zmianie kierunku nierówności!

\n

\\[m < \\frac{2}{-3}\\]
\\[\\boxed{m < -\\frac{2}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - interpretacja graficzna / weryfikacja

\n

Interpretacja graficzna:

\n

Funkcja \\(f(x) = x + 3m\\) to prosta o współczynniku kierunkowym \\(a = 1 > 0\\) (rosnąca).

\n

Prosta rosnąca przecina oś \\(OX\\) w punkcie \\(x_0 = -3m\\).

\n

Chcemy, żeby miejsce zerowe było po prawej stronie punktu \\(x = 2\\) na osi:

\n

\\[-3m > 2\\]

\n

Czyli szukamy takich \\(m\\), dla których \\(-3m\\) leży na prawo od \\(2\\) na osi liczbowej.

\n

\\[-3m > 2 \\implies m < -\\frac{2}{3}\\]

\n

Weryfikacja przykładem:

\n

Weźmy \\(m = -1\\) (spełnia \\(m < -\\frac{2}{3}\\)):
\\[f(x) = x + 3 \\cdot (-1) = x - 3 \\implies x_0 = 3 > 2 \\checkmark\\]

\n

Weźmy \\(m = 0\\) (nie spełnia warunku):
\\[f(x) = x + 0 = x \\implies x_0 = 0 \\not> 2 \\checkmark\\]

\n

Wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (f(x) = 0) i elementarne rozwiązanie nierówności liniowej.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Dzieląc nierówność przez liczbę ujemną (tu: przez \\(-3\\)), musisz odwrócić kierunek nierówności. Najczęstszy błąd: uczeń pisze \\(m > -\\frac{2}{3}\\) zamiast \\(m < -\\frac{2}{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić miejsca zerowego z wartością \\(f(0)\\)! Miejsce zerowe to \\(x\\) takie, że \\(f(x) = 0\\), a nie wartość funkcji w zerze.
\n
⚠️ Uwaga: Parametr \\(m\\) w wyrażeniu \\(3m\\) to stała - traktuj je jak jeden wyraz przy wyznaczaniu \\(x_0\\). Nie rozbijaj na \\(3 \\cdot m\\) osobno.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)

\n

Sposób rozwiązania:

\n

Równianie: \\(x^2(x+1) = x^2 - 8\\)

\n

Przenosimy na jedną stronę:
\\[x^2(x+1) - x^2 + 8 = 0\\]
\\[x^3 + x^2 - x^2 + 8 = 0\\]
\\[x^3 + 8 = 0\\]
\\[x^3 = -8\\]
\\[x = \\sqrt[3]{-8} = -2\\]

\n

Sprawdzenie: \\((-2)^2(-2+1) = 4 \\cdot (-1) = -4\\) oraz \\((-2)^2 - 8 = 4 - 8 = -4\\). ✓

\n

Uwaga: Można też rozłożyć \\(x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0\\). Wyróżnik \\(x^2 - 2x + 4\\): \\(\\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\\), więc jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest \\(x = -2\\).

\n

Wzory CKE: Wzory skróconego mnożenia (s. 7): \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\).

"}]}