{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie 2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\n, gdzie\n1\nx ≠- i\n0\nx ≠\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż równanie 2x+1 / 2x = 2x+1 / x+1, gdzie x ≠ -1 i x ≠ 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie 2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\n, gdzie\n1\nx ≠- i\n0\nx ≠\nRozwiązanie\nRównanie ma sens liczbowy dla każdej liczby rzeczywistej\n1\nx ≠- i\n0\nx ≠\nI sposób rozwiązania\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny\n2\n1\n2\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nx\nx\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n)1\n2\n(\n2\n)1\n(\n1\n2\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n1 4\n2\n0\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nx x\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nx x\nStąd otrzymujemy równanie kwadratowe\n0\n1\n2\n2\nx\nx\nPonieważ\n9\n1\n)\n2\n(\n4\n12\n⋅\n⋅\nΔ\n, to równanie ma dwa rozwiązania\n1\n1\n2\nx = -\n,\n1\n2 =\nx\nKażda z otrzymanych liczb jest różna od\n1\n- i od 0. Zatem każda z tych liczb jest\nrozwiązaniem naszego równania.\nII sposób rozwiązania\nPrzedstawiamy równanie w postaci równoważnej\n(\n)\n1\n1\n2\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nZ własności iloczynu, otrzymujemy\n2\n1\n0\nx + =\nlub 1\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nRozwiązaniem pierwszego z równań jest liczba\n1\n2\nx = -\nZapiszmy równanie\n0\n1\n1\n2\n1\n-x\nx\nw postaci równoważnej\n0\n)1\n(\n2\n2\n)1\n(\nx\nx\nx\nx\n,\n1\n0\n2 (\n1)\nx\nx x\nStąd\n1\nx = .\nKażda z otrzymanych liczb jest różna od\n1\n- i od 0. Zatem każda z tych liczb jest\nrozwiązaniem naszego równania.\nIII sposób rozwiązania\nZ własności proporcji możemy równanie zapisać w postaci równoważnej\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n2\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n2\n1\n1\n2\n0\nx\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n2\n1 1\n0\nx\nx\nStąd\n2\n1\n0\nx + =\nlub 1\n0\nx\n,\n1\n2\nx = -\nlub\n1\nx = .\nKażda z otrzymanych liczb jest różna od\n1\n- i od 0. Zatem każda z tych liczb jest\nrozwiązaniem naszego równania.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie w postaci\n• równania kwadratowego w postaci uporządkowanej lub iloczynowej:\n0\n1\n2\n2\nx\nx\n, (\n)(\n)\n2\n1 1\n0\nx\nx\nalbo\n• alternatywy równań, np.: 2\n1\n0\nx + =\nlub 1\n1\n0\n2\n1\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy rozwiązania równania:\n1\n1\n2\nx = -\n,\n1\n2 =\nx\nUwaga:\nJeżeli zdający podzieli obie strony równania 2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\ni nie zapisze, że 2\n1\n0\nx + ≠\n, to\nmoże otrzymać co najwyżej 1 punkt.","solution":"$x = -\\dfrac{1}{2}$ lub $x = 1$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż równanie 2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
, gdzie
1
x ≠- i
0
x ≠
Odpowiedź:

\n

MMA_1P
Rozwiąż równanie 2x+1 / 2x = 2x+1 / x+1, gdzie x ≠ -1 i x ≠ 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż równanie 2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
, gdzie
1
x ≠- i
0
x ≠
Rozwiązanie
Równanie ma sens liczbowy dla każdej liczby rzeczywistej
1
x ≠- i
0
x ≠
I sposób rozwiązania
Przekształcamy równanie w sposób równoważny
2
1
2
1
0
2
1
x
x
x
x
,
(
)
(
)
0
1
2
)1
2
(
2
)1
(
1
2
x
x
x
x
x
x
,
(
)
2
2
2
3
1 4
2
0
2
1
x
x
x
x
x x
,
(
)
2
2
1
0
2
1
x
x
x x
Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe
0
1
2
2
x
x
Ponieważ
9
1
)
2
(
4
12
⋅
⋅
Δ
, to równanie ma dwa rozwiązania
1
1
2
x = -
,
1
2 =
x
Każda z otrzymanych liczb jest różna od
1

\n\n

rozwiązaniem naszego równania.
II sposób rozwiązania
Przedstawiamy równanie w postaci równoważnej
(
)
1
1
2
1
0
2
1
x
x
x






Z własności iloczynu, otrzymujemy
2
1
0
x + =
lub 1
1
0
2
1
x
x
Rozwiązaniem pierwszego z równań jest liczba
1
2
x = -
Zapiszmy równanie
0
1
1
2
1
-x
x
w postaci równoważnej
0
)1
(
2
2
)1
(
x
x
x
x
,
1
0
2 (
1)
x
x x
Stąd
1
x = .
Każda z otrzymanych liczb jest różna od
1

\n\n

rozwiązaniem naszego równania.
III sposób rozwiązania
Z własności proporcji możemy równanie zapisać w postaci równoważnej
(
)(
)
(
)
2
1
1
2
2
1
0
x
x
x
x
,
(
)(
)
2
1
1
2
0
x
x
x
,
(
)(
)
2
1 1
0
x
x
Stąd
2
1
0
x + =
lub 1
0
x
,
1
2
x = -
lub
1
x = .
Każda z otrzymanych liczb jest różna od
1

\n\n

rozwiązaniem naszego równania.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze równanie w postaci
• równania kwadratowego w postaci uporządkowanej lub iloczynowej:
0
1
2
2
x
x
, (
)(
)
2
1 1
0
x
x
albo
• alternatywy równań, np.: 2
1
0
x + =
lub 1
1
0
2
1
x
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy rozwiązania równania:
1
1
2
x = -
,
1
2 =
x
Uwaga:
Jeżeli zdający podzieli obie strony równania 2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
i nie zapisze, że 2
1
0
x + ≠
, to
może otrzymać co najwyżej 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -\\dfrac{1}{2}$ lub $x = 1$

"}]}