{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n3\n3\n2\n2\n4\n4\n2\ny\nx\ny\nx\ny\nx\n≥\n\nMMA_1P\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x^4 + y^4 + x^2 + y^2 ≥ 2(x^3 + y^3).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n3\n3\n2\n2\n4\n4\n2\ny\nx\ny\nx\ny\nx\n≥\nRozwiązanie\nI sposób rozwiązania\nZapiszmy nierówność\n(\n)\n4\n4\n2\n2\n3\n3\n2\nx\ny\nx\ny\nx\ny\n≥\nw postaci równoważnej\n4\n3\n2\n4\n3\n2\n2\n2\n0\nx\nx\nx\ny\ny\ny\n≥\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nx\nx\ny\ny\n≥\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc (\n)\n2\n2\n0\nx\nx\n≥\ni (\n)\n2\n2\n0\ny\ny\n≥\ndla\ndowolnych liczb rzeczywistych x i y. Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, więc\notrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y.\nII sposób rozwiązania\nZapiszmy nierówność\n(\n)\n4\n4\n2\n2\n3\n3\n2\nx\ny\nx\ny\nx\ny\n≥\nw postaci równoważnej\n4\n3\n2\n4\n3\n2\n2\n2\n0\nx\nx\nx\ny\ny\ny\n≥\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n≥\ny\ny\ny\nx\nx\nx\n,\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n≥\ny\ny\nx\nx\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc\n2\n0\nx ≥\n, (\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\n,\n2\n0\ny ≥\ni (\n)\n2\n1\n0\ny -\n≥\ndla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. Iloczyn liczb nieujemnych jest\nnieujemny, więc dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwe są nierówności\n(\n)\n2\n2\n1\n0\nx\nx -\n≥\ni\n(\n)\n2\n2\n1\n0\ny\ny -\n≥\n. Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, więc\notrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze nierówność w postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nx\nx\ny\ny\n≥\ni popełni błędy przy jej\nuzasadnianiu, np. przez zapisanie, że po lewej stronie są składniki dodatnie\nalbo\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n≥\ny\ny\nx\nx\ni popełnia błędy przy jej uzasadnianiu, np. przez zapisanie,\nże po lewej stronie są składniki dodatnie\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze wyrażenie w postaci sumy nieujemnych składników i sformułuje wniosek.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
(
)
3
3
2
2
4
4
2
y
x
y
x
y
x
≥

\n

MMA_1P
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x^4 + y^4 + x^2 + y^2 ≥ 2(x^3 + y^3).

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
(
)
3
3
2
2
4
4
2
y
x
y
x
y
x
≥
Rozwiązanie
I sposób rozwiązania
Zapiszmy nierówność
(
)
4
4
2
2
3
3
2
x
y
x
y
x
y
≥
w postaci równoważnej
4
3
2
4
3
2
2
2
0
x
x
x
y
y
y
≥
,
(
)
(
)
2
2
2
2
0
x
x
y
y
≥
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc (
)
2
2
0
x
x
≥
i (
)
2
2
0
y
y
≥
dla
dowolnych liczb rzeczywistych x i y. Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, więc
otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y.
II sposób rozwiązania
Zapiszmy nierówność
(
)
4
4
2
2
3
3
2
x
y
x
y
x
y
≥
w postaci równoważnej
4
3
2
4
3
2
2
2
0
x
x
x
y
y
y
≥
,
(
)
(
)
0
1
2
1
2
2
2
2
2
≥
y
y
y
x
x
x
,
(
)
(
)
0
1
1
2
2
2
2
≥
y
y
x
x
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc
2
0
x ≥
, (
)
2
1
0
x -
≥
,
2
0
y ≥
i (
)
2
1
0
y -
≥
dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. Iloczyn liczb nieujemnych jest
nieujemny, więc dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwe są nierówności
(
)
2
2
1
0
x
x -
≥
i
(
)
2
2
1
0
y
y -
≥
. Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, więc
otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze nierówność w postaci (
)
(
)
2
2
2
2
0
x
x
y
y
≥
i popełni błędy przy jej
uzasadnianiu, np. przez zapisanie, że po lewej stronie są składniki dodatnie
albo
(
)
(
)
0
1
1
2
2
2
2
≥
y
y
x
x
i popełnia błędy przy jej uzasadnianiu, np. przez zapisanie,
że po lewej stronie są składniki dodatnie
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze wyrażenie w postaci sumy nieujemnych składników i sformułuje wniosek.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}